Цаповська Жаннета Ярославівна. Застосування методу потенціалів до розв'язання параболічних задач спряження : дис... канд. фіз.-мат. наук: 01.01.02 / Львівський національний ун-т ім. Івана Франка. - Л., 2005.
Анотація до роботи:
Цаповська Ж.Я.Застосування методу потенціалів до розв’язання параболічних задач спряження. – Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. – Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2005.
В дисертації розглянуто початково-крайову задачу для загального лінійного рівномірно параболічного рівняння другого порядку з крайовою умовою Вентцеля та її узагальнення – параболічну задачу спряження, в якій одна з умов спряження, як і крайова умова Вентцеля, має вигляд параболічного рівняння по дотичних змінних. Такі задачі є важливими як з точки зору застосувань у теорії випадкових процесів, так і в теорії рівнянь з частинними похідними.
Класичну розв’язність досліджуваних задач в просторах Гельдера встановлено з використанням методів теорії потенціалу. Шукані розв’язки представлені у вигляді суми параболічного потенціалу простого шару і теплових потенціалів Пуассона. Отримані результати застосовано до вивчення за допомогою аналітичних методів деяких проблем з теорії дифузійних процесів. Зокрема, побудовано інтегральне зображення напівгрупи операторів, що описує найбільш загальний клас неперервних необривних марковських процесів у скінченновимірному евклідовому просторі, які виникають внаслідок розв’язання задачі про склеювання двох дифузійних процесів на гіперплощині. Доведено, що отримані процеси можна трактувати як дифузійні процеси. Для них колмогорівські локальні характеристики руху – вектор переносу та матриця дифузії – існують в класичному сенсі і є кусково-неперервними функціями.
Дисертація присвячена вивченню методом класичної теорії потенціалу початково-крайових задач та задач спряження для загального лінійного параболічного рівняння другого порядку з граничною умовою, а у випадку задачі спряження – з умовою спряження типу Вентцеля. Такого типу задачі є важливими як з точки зору застосувань у теорії випадкових процесів, так і в теорії рівнянь з частинними похідними.
Основні результати дисертації є, взагалі кажучи, нетривіальними узагальненнями відомих для рівномірно параболічних рівнянь результатів, що стосувалися крайових задач, в яких порядок диференціальних крайових операторів менший, ніж порядок рівняння.
В роботі отримані такі результати:
За допомогою методу теорії потенціалу доведена теорема про класичну розв’язність у просторі Гельдера параболічної початково-крайової задачі з граничною умовою Вентцеля.
Побудовано інтегральне зображення розв’язку задачі Коші для лінійного рівномірно параболічного рівняння другого порядку на многовиді, яким є гіперповерхня.
З використанням методу теорії потенціалу встановлено умови існування та єдиності класичного розв’язку з класу Гельдера параболічної задачі спряження, в якій одна з умов спряження визначається диференціальним крайовим оператором типу Вентцеля.
За допомогою аналітичних методів доведена теорема про існування напівгрупи операторів, що описує дифузійний процес в області із загальною крайовою умовою Вентцеля.
Побудовано клас дифузійних процесів, для яких колмогорівські локальні характеристики руху – вектор переносу і матриця дифузії – існують в класичному сенсі і є кусково-неперервними функціями.
Одержані результати і методика доведень мають теоретичне значення. Вони можуть використовуватися при подальших дослідженнях крайових задач (задач спряження) для лінійних рівномірно параболічних рівнянь другого або вищих порядків з крайовими умовами (умовами спряження) тих самих порядків, а також в теорії випадкових процесів при вивченні узагальнених дифузійних процесів.
Публікації автора:
Kopytko Bohdan I., Tsapovska Zhanna J. Diffussion processes with discountiouns local characteristics of the movement // Theory of Stochastic Processes. – 1998. – 4(20), N 1-2. – P. 139–146.
Цаповська Ж.Я. Розв’язання методом потенціалів одної параболічної задачі спряження у нециліндричній області // Мат. методи і фіз.-мех. поля. – 1999. – 42, № 2. – С. 39–46.
Цаповська Ж.Я. Розв’язання методом потенціалів параболічної початково-крайової задачі з оператором типу Вентцеля в умові спряження // Мат. методи і фіз.-мех. поля. – 1999. – 42, № 3. – С. 66–74.
Kopytko B.I., Tsapovska Zh. Ya. Integral Representation of an Operator Semigroup Describing a Diffusion in a Domain with Wentzel’s Boundary Conditon // Theory of Stochastic Processes. – 1999. – 5(21), № 3-4. – P. 105–112.
Копитко Б.І., Цаповська Ж.Я. Метод потенціалів в параболічній крайовій задачі з граничною умовою Вентцеля // Вісник Львівського університету. Серія механіко-математична. 2000. – Вип. 56. – C. 106–115.
Цаповська Жаннета. Розв’язання одної параболічної задачі спряження методом потенціалів // Міжнародна наукова конференція “Сучасні проблеми механіки і математики”, присвячена 70-річчю від дня народження академіка НАН України Я.С. Підстригача та 25-річчю заснованого ним ІППММ (Львів, 25-28 травня, 1998 р.): Матеріали. – Львів, 1998. – С. 234.
Kopytko B.I., Tsapovska Zh. Ya. Integral Representation of a Semigroup that Describes a Diffusion in Domain with a Boundary Wentzel Conditon // The Third Ukrainian–Scandinavian Conference in Probability Theory and Mathematical Statistics (June, 8 – 12, 1999): Book of Abstracts. – Kyiv: 1999. – P. 64.
Tsapovska Zh. Ya. Solving parabolic initial-boundary problem with boundary Wentzel condition by potential method // International Conference Dedicated by J.P. Schauder "Nonlinear Partial Differential Equations" (Ukraine, Lviv, August 23-29, 1999): Book of abstracts. – Lviv, 1999. – P. 206.
B.I. Kopytko, Zh.Ya. Tsapovs’ka. Analytical method for constructing a diffusion process with generalized drift vector localized on a hyper-surface // International Conference on Functional Analysis and its Applicatuions Dedicated to the 110 th anniversary of Stefan Banach (Ukraine, Lviv, May 28-31, 2002): Book of abstracts. – Lviv, 2002. – P. 113–114.
Копитко Б.І., Цаповська Ж.Я. Багатовимірна модель дифузії з мембраною, розташованою на фіксованій гіперповерхні, властивості якої описуються загальною крайовою умовою Вентцеля // International Conference Modern Problems and New Trends in Probability Theory (Chernivtsi, Ukraine, June 19-26, 2005): Abstracts, I. – Chernivtsi, 2005. – P. 126–127.
Копитко Б.І., Цаповська Ж.Я. Процеси дифузії в середовищі з мембраною, властивості якої описуються загальною крайовою умовою Вентцеля // Міжнародна конференція пам’яті В.Я. Буняковського (1804–1889) (16–21 серпня 2004, Київ): Тези доповідей. – Київ, 2004. – С. 77–78.
Цаповська Ж.Я. Розв’язання параболічної задачі Вентцеля методом граничних інтегральних рівнянь // Міжнародна конференція, присвячена 125 річниці від дня народження Ганса Гана (27 червня – 3 липня 2004, Чернівці, Україна): Тези доповідей. – Чернівці, 2004. – С. 114–115.
