Анотація до роботи:

Фещенко О.Ю. Застосування f-кодів дійсних чисел до дослідження фрактальних властивостей ймовірнісних мір. –– Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико"=математичних наук за спеціальністю 01.01.05 –– теорія ймовірностей та математична статистика. Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2008.

Дисертація присвячена дослідженню структури, тополого-метричних і фрактальних властивостей випадкових величин (в.в.), символи зображення яких в певній системі кодування є незалежними або утворюють ланцюг Маркова. Вводиться нове -зображення дійсних чисел, яке дозволяє розширити класи фрактальних об'єктів, які формально нескладно задаються. Для запропонованої системи кодування досліджено ''нормальні'' властивості чисел в термінах частот символів зображення. Для в.в. з незалежними -символами досліджено лебегівську структуру розподілу (вміст дискретної, абсолютно неперервної та сингулярної компонент), а також структуру сингулярного розподілу (вміст салемівської, канторівської та квазіканторівської компонент). Вивчено тополого-метричні та фрактальні властивості спектрів в.в. цього класу. Аналогічні задачі розв'язані для одного класу згорток Бернуллі, а саме випадкових неповних сум збіжного знакододатного ряду з незалежними доданками.

В дисертаційному дослідженні здобуті наступні результати:

1) обгрунтовано новий спосіб зображення дійсних чисел з нескінченним алфавітом (множиною цілих чисел) –– так зване -зображення, залежне від одного параметра ("золоте відношення"). Воно є формально зручним для опису і дослідження класів фрактальних N-самоподібних множин та ймовірнісних мір;

2) знайдено ''нормальні'' властивості чисел в термінах частот символів в їх -зображенні;

3) описано новий клас випадкових величин з незалежними символами своїх -кодів, що мають чистий, в переважній більшості сингулярний, розподіл; встановлено необхідні і достатні умови належності таких розподілів до кожного з чистих типів (чисто дискретного, чисто абсолютно неперервного, чисто сингулярного). У випадку сингулярності розподілу знайдено критерії належності його до канторівського, салемівського та квазіканторівського типів. Вивчено тополого-метричні та фрактальні властивості розподілів випадкових величин цього класу;

4) вивчено структуру, тополого-метричні і фрактальні властивості розподілу випадкової неповної суми збіжного знакододатного ряду з випадковими незалежними доданками при деяких обмеженнях на швидкість збіжності ряду та розподіли доданків;

5) досліджено поведінку модуля характеристичної функції випадкової неповної суми збіжного знакододатного ряду на нескінченності та збереження фрактальної розмірності її функцією розподілу;

6) запропоновано загальну схему кодування дійсних чисел за допомогою символів скінченного алфавіту; знайдено формули для обчислення розмірності Хаусдорфа-Біллінгслі двох класів множин канторівського типу у просторі нескінченних послідовностей символів скінченного алфавіту відносно ймовірнісної міри, що відповідає розподілу випадкового елементу простору з незалежними символами;

7) обгрунтовано еквівалентність означення розмірності Хаусдорфа-Безиковича через покриття -циліндрами та Q^*-циліндрами. Вивчено фрактальні властивості кількох класів множин типу Кантора-Морана і Безиковича-Егглстона, які для досліджуваних розподілів є носіями;

8) показано можливості використання Q-представлення для означення міри і розмірності Хаусдорфа-Біллінгслі, топологізації, метризації простору нескінченних послідовностей; задання сингулярних і недиференційовних функцій.

Публікації автора:

1. Працьовитий М.В., Фещенко О.Ю. Математичні моделі двосторонніх динамічних конфліктів i Q-представлення чисел // Наукові записки НПУ імені М. П. Драгоманова. Фізико-математичні науки. –– 2003, № 4. –– С. 260-269.

2. Фещенко О.Ю. Про символьний спосіб задання функцій і розподілів ймовірностей // Науковий часопис НПУ імені М.П.Драгоманова. Серія 1. Фізико-математичні науки. –– 2004, № 5. –– С. 248-266.

3. Фещенко О.Ю. Властивості розподілів випадкових величин з незалежними символами своїх -кодів // Науковий часопис НПУ імені М.П.Драгоманова. Серія 1. Фізико-математичні науки. –– 2005, № 6. –– С.225-234.

4. Фещенко О.Ю. Розподіли випадкових величин, -символи яких утворюють ланцюг Маркова // Науковий часопис НПУ імені М.П.Драгоманова. Серія 1. Фізико-математичні науки. –– 2006, № 7. –– С. 43-54.

5. Pratsiovytyi M.V., Feshchenko O.Yu. Topological, metric and fractal properties of probability distributions on the set of incomplete sums of positive series // Theory of Stochastic Processes. –– 2007. –– 13(29), № 1-2. –– P. 205-224.

6. Працьовитий М.В., Фещенко О.Ю. Математичні моделі двосторонніх динамічних конфліктів // ІХ Всеукраїнська наукова конференція "Фундаментальна та професійна підготовка фахівців з фізики". Матеріали конференції. –– К.: НПУ імені М.П.Драгоманова, 2004. –– C.97.

7. Фещенко О.Ю. Застосування поліосновного Q-представлення до дослідження фрактальних властивостей мір і функцій // ''Фрактали і сучасна математика'': Матеріали наук. конференції. –– 2005, К.: НПУ імені М.П.Драгоманова. –– С. 64-65.

8. Працьовитий М.В., Фещенко О.Ю. Фрактальні властивості розподілів елементів топологічних просторів, заданих розподілами своїх f-символів // International conference ``Modern Stochastic: Theory and Applications'', June 19--23, 2006, Kyiv: Abstracts. –– Kyiv: Taras Shevchenko Kyiv National University, 2006. –– P. 73--74.

9. Працьовитий М.В., Фещенко О.Ю. Фрактальні властивості розподілів елементів топологічних просторів, заданих розподілами своїх f-символів // Матеріали конференції, присвяченої пам'яті професора С.С.Левіщенка, 7 жовтня 2006 р., Київ. –– Київ: Вид-во НПУ імені М.П.Драгоманова, 2006. –– С. 51-52.

10. Працьовитий М. В., Фещенко О.Ю. Про фрактальні властивості множин, розподілів і випадкових процесів в спеціально метризованому просторі нескінченних послідовностей символів зі скінченного алфавіту // Одинадцята міжнародна наукова конференція імені академіка М.Кравчука, 18-20 травня 2006р., Київ: Матеріали конф. –– Київ: Задруга, 2006. –– С. 741.

11. Pratsiovytyi M., Feschenko O. On properties of distributions of random values and one convergent positive series // International conference "Skorokhod Space 50: Years On", Abstracts. –– June 17-23, 2007, Kyiv. –– P.167-168.