Анотація до роботи:

Процах Н. П. Задачі для еволюційних рівнянь та систем високого порядку з виродженням. — Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико – математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. Львівський національний університет імені Івана Франка. Львів, 2002.

У дисертації досліджено розв’язність мішаних задач і задачі без початкових умов для деяких типів еволюційних рівнянь і систем з виродженням та рівнянь з різними нелінійностями.

За допомогою модифікацій методу Гальоркіна та методів регуляризації, штрафу, кінцево-різницевих відношень, монотонності й компактності одержано умови існування узагальненого розв’язку мішаних задач для: лінійних еволюційних систем високого порядку з виродженням на початковій гіперплощині у нециліндричній області; нелінійних рівнянь з другою похідною за часом в узагальнених просторах Соболєва; нелінійних ультрапараболічних рівнянь в обмеженій або в необмеженій за просторовими змінними області, а також задачі без початкових умов для слабко нелінійних ультрапараболічних рівнянь. Крім того, для систем з виродженням доведено гладкість розв’язку за всіма змінними у циліндричній області, для нелінійних рівнянь досліджено єдиність розв’язку, в окремих випадках знайдено умови існування гладшого розв’язку.

У дисертації знайдено умови існування та єдиності розв’язків мішаних задач та задачі Фур’є для деяких типів еволюційних рівнянь та систем. В окремих випадках досліджено гладкість розв’язку.

Отримано такі нові результати.

Доведено існування розв’язку мішаної задачі для еволюційних систем високого порядку за просторовими змінними і другого порядку за часовою змінною в обмеженій області нециліндричної форми з виродженням (на гіперплощині задання початкових даних) у еліптичні. Також одержано гладкість розв’язку для цієї задачі в циліндричній області. Єдиність розв’язку цієї задачі доведено у працях Лавренюка С. П..

Досліджено існування єдиного розв’язку в узагальнених просторах Соболєва та Лебега мішаних задач для деяких типів нелінійних еволюційних рівнянь з другою похідною за часовою змінною, які містять, як частковий випадок, деякі параболічні за І. Г. Петровським рівняння та для нелінійних ультрапараболічних рівнянь.

Доведено однозначну розв’язність мішаної задачі для слабко нелінійних ультрапараболічних рівнянь в необмежених за просторовими змінними областях. Знайдені умови не залежать від поведінки розв’язку на нескінченності.

Визначено умови існування єдиного розв’язку задачі без початкових умов (задачі Фур’є) для слабко нелінійних ультрапараболічних рівнянь, які не залежать від поведінки розв’язку при .

Для одержання цих результатів застосовано методи, відомі для рівнянь гіперболічного та параболічного типів та їх модифікацію (методи Гальоркіна, регуляризації, штрафу, кінцево-різницевих відношень, монотонності та компактності).

Результати досліджень дисертаційної роботи мають теоретичний характер. Їх можна використати при подальших дослідженнях рівнянь математичної фізики та в теорії диференціальних рівнянь в частинних похідних.

Публікації автора:

Процах Наталія. Існування розв’язку однієї еволюційної системи з виродженням // Вісник Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 1999. – Вип. 54. – С. 159 - 170.

Процах Наталія. Внутрішня гладкість розв’язку мішаної задачі для еволюційної системи з виродженням // Вісник Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 2000. – Вип. 56. – С. 157 - 169.

Лавренюк С. П., Процах Н. П. Мішана задача для одного нелінійного параболічного рівняння // Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 2000. – Т. 43, № 3. – С. 56-63.

Процах Н. П. Мішана задача для нелінійного еволюційного рівняння з другою похідною за часом в узагальнених просторах Лебега // Математичні студії. – 2001. – Т. 16, № 2. – С. 157 - 168.

Процах Наталія. Існування та єдиність розв’язку мішаної задачі для одного параболічного нелінійного рівняння // Вісник Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 2001. – Вип. 59. – С. 148 - 157.

Лавренюк С. П., Процах Н. П. Мішана задача для ультрапараболічного рівняння в необмеженій області // Укр. мат. журн. – 2002. – Т.54 , № 8. – С. 1053 - 1066.

Процах Н. П. Мішана задача для нелінійного ультрапараболічного рівняння // Наук. вісник Чернів. ун-ту: зб. наук. пр. Математика. Чернівці. ЧДУ. – 2002. – Вип. 134. – С. 97 – 103.

Процах Н. П. Про коректність мішаної задачі для еволюційної системи з виродженням // VIII міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука. Матеріали конференції (11-14 травня 2000 р.). - Київ, 2000. – С. 351.

Процах Наталія. Про мішану задачу для параболічного нелінійного рівняння в узагальнених просторах Соболєва // Міжнародна наукова конференція «Нові підходи до розв’язування диференціальних рівнянь» 1-5 жовтня 2001 р., Дрогобич, 2001. – С. 105.

Lavrenyuk Serhiy, Protsakh Natalia. The mixed problem for one ultraparabolic equation in an unbounded domain // Nonlinear Partial Differential Equations. Books of abstracts. International Conference. Kyiv, August 22-28, 2001, P. 77.

Protsakh N. P. Mixed problem for nonlinear ultraparabolic equation // International Conference on Functional Analisys and its applications. Dedicated to 110-th anniversary of Stephan Banach. Books of abstracts. May 28-31, 2002, Lviv, Ukraine, P. 164-165.