Анотація до роботи:

Шевченко Г. М. Властивості розв’язків стохастичних диференціальних рівнянь у гільбертовому просторі — Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.05 — теорія ймовірностей і математична статистика. — Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2005.

Дисертаційну роботу присвячено задачам наближеного розв’язування стохастичних диференціальних рівнянь, а також питанням апроксимації напівгруп операторів. Для стохастичних диференціальних рівнянь у гільбертовому просторі розглядаються апроксимації за схемами Ейлера та Мільштейна для цих, скінченновимірні апроксимації, апроксимації розв’язками рівнянь з регулярними коефіцієнтами. Особливу увагу приділено лінійним рівнянням. Для упереджуючих стохастичних диференціальних рівнянь з інтегралом Скорохода отримано результати про існування приблизних розв’язків у певних просторах та про збіжність апроксимацій з дискретним часом для квазілінійних рівнянь. Виведено нові апроксимаційні формули для напівгруп та еволюційних сімей, що є аналогами відомих формул Чернова, Троттера, Уіддера–Поста.

У дисертації розроблено методи апроксимації стохастичних диференціальних рівнянь у гільбертовому просторі. Зокрема, побудовано апроксимації за схемами Ейлера і Мільштейна для стохастичних напівлінійних рівнянь еволюційного типу з необмеженим оператором та рівнянь Іто–Вольтерра у гільбертовому просторі та отримано швидкість збіжності для таких апроксимацій; побудовано скінченновимірні апроксимації розв’язків СДР у гільбертовому просторі і доведено їх збіжність; побудовано апроксимації розв’язків СДР із необмеженим оператором у зсуві розв’язками рівнянь з обмеженими коефіцієнтами і отримано швидкість їх збіжності.

У роботі отримано нові результати, що стосуються упереджуючих СДР: доведено існування приблизних розв’язків СДР у формі Скорохода з упередженням; побудовано апроксимації квазілінійних СДР з упередженням і отримано результати про швидкість їх збіжності

Із застосуванням методу дискретизації часу у звичайних диференціальних рівняннях отримано нові апроксимаційні формули для напівгруп операторів, що доповнюють класичні результати.

10pt

References

[1] МішураЮ. С., ШевченкоГ. М. Ейлерові наближення розв’язків абстрактних рівнянь та їх застосування в теорії напівгруп // Укр. Мат. Журнал. "— 2004. "— . 56, 3. "— . 399–410.

[2] Мішура Ю. С., Шевченко Г. М. Лінійні рівняння i стохастичні експоненти в гільбертовому просторі // Теор. Імовір. Мат. Стат. "— 2004. "— 71. "— . 123–132.

[3] Шевченко Г. М. Швидкість збіжності дискретних апроксимацій розв’язків стохастичних диференціальних рівнянь у гільбертовому просторі // Теор. Імовір. Мат. Стат. "— 2003. "— 69. "— . 172–183.

[4] Шевченко Г. М. Наближенне інтегрування стохастичних диференціальних рівнянь // Доповіді НАН України. Серія Математика. "— 2005. "— 1. — С. 39–46.

[5] Шевченко Г. М. Про Ейлеровi апроксимацiї квазiлiнiйних стохастичних диференцiальних рiвнянь з упередженням // Теор. Імовір. Мат. Стат. "— 2005. "— 72. "— . 152–159.

[6] Мішура Ю. С., Шевченко Г. М. Розв’язування лінійних стохастичних диференціальних рівнянь у гільбертовому просторі // Прикл. Статист. Актуарна та Фін. Матем. "— 2003. "— 1–2. "— . 235.

[7] Мішура Ю. С., Шевченко Г. М. Приблизні розв’язки стохастичних диференціальних рівнянь з упередженням // Тези міжнародної конференції “Диференціальні рівняння та їх застосування”, 6–9 червня, Київ." — K.: ВПЦ “Київський університет”, 2005. "— . 73.

[8] Shevchenko G. M. Rate of convergence for approximations of solutions of ordinary and differential equations in Hilbert and Banach spaces // Тезисы международной конференции “Колмогоров и современная математика”, Москва, 16–21 июня, 2003. "— М.: Изд-во МГУ, 2003. "— . 558.

[9] Shevchenko G. M. Approximate solutions to anticipative differential equations with Skorohod integral // Abstracts of International conference “Functional methods in approximation theory, operator theory, stochastic analysis and statistics II”, Kiev, October 1–5, 2004. "— K.: ВПЦ “Київський університет”, 2004. "— . 134.

Chapter