Анотація до роботи:

МЕРЖЕЄВСЬКИЙ Д.А. Узагальнені поля Якобі і хаотичне представлення для гамма-поля. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 – математичний аналіз. – Інститут математики НАН України, Київ, 2004.

У дисертації описано конструкцію, яка узагальнює спектральний підхід до аналізу білого шуму, тобто підхід, який базується на понятті поля Якобі; ми описуємо аналогічний підхід, вводячи поняття узагальненого поля Якобі. Наведено кілька прикладів узагальнених полів Якобі; зокрема, з’ясовано, що випадок, коли спектральною мірою є гамма-міра, можна описати в рамках запропонованої конструкції. Досліджено структуру розширеного простору Фока і з використанням цієї структури побудовано (узагальнене) хаотичне представлення для гамма-поля.

Результати дисертації зводяться до наступного:

1. Описано таке узагальнення спектрального підходу до аналізу білого шуму, в рамках якого можна описувати як конструкції, до яких застосовний “класичний” спектральний підхід, так і конструкції, в яких фігурує розширений простір Фока. Це узагальнення базується на понятті узагальненого поля Якобі, яке відрізняється від поля Якобі, досліджуваного в роботах Ю.М. Березанського, тим, що замість простору Фока розглядається більш абстрактний простір.

2. Наведено кілька прикладів узагальнених полів Якобі: а) поле Гаусса, яке є також звичайним полем Якобі; б) порівняно простий приклад узагальненого поля Якобі, яке не є звичайним полем Якобі; в) гамма-поле, яке також є узагальненим (але не звичайним) полем Якобі.

3. Побудовано ізоморфізм, який дає корисну інформацію про структуру розширеного простору Фока: цей простір можна розуміти як ортогональну суму певних функціональних просторів. При цьому отримано також аналогічну інформацію про структуру деяких абстрактних просторів, схожих за способом побудови на розширений простір Фока.

4. Побудовано (узагальнене) хаотичне представлення для гамма-поля, яке базується на вищезгаданій інформації про структуру розширеного простору Фока.

Публікації автора:

1. Berezansky Yu.M., Mierzejewski D.A. The structure of the extended symmetric Fock space // Methods of Functional Analysis and Topology. – 2000. – Vol. 6, no. 4. – P. 1–13.

2. Березанский Ю.М., Мержеевский Д.А. Хаотическое разложение для гамма-поля // Функциональный анализ и его приложения. – 2001. – Т. 35, №4. – С. 81–84.

3. Mierzejewski D.A. Generalized Jacobi fields // Methods of Functional Analysis and Topology. – 2003. – Vol. 9, no. 1. – P. 80–100.

4. Berezansky Yu.M., Mierzejewski D.A. The construction of the chaotic representation for the Gamma field // Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics. – 2003. – Vol. 6, no. 1. – P. 33–56.

5. Berezansky Yu.M., Lytvynov E.W., Mierzejewski D.A. The Jacobi field of a Lvy process. // Український математичний журнал. – 2003. – Т. 55, №5. – С. 706–710.

6. Mierzejewski D.A. The structure of the extended Fock space and its application to some constructions of Gamma analysis // International Conference of Functional Analysis. – Kyiv. – 2001. – P. 61.