Рибалко Володимир Олександрович. Усередненi моделi з пам'яттю : Дис... канд. наук: 01.01.03 - 2004.
Анотація до роботи:
Рибалко В.О. Усереднені моделі з пам’яттю. – Рукопис. – Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.03 – математична фізика. – Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України, Харків, 2003.
В дисертаційній роботі вивчено три моделі сильно неоднорідних середовищ, що виказують ефект пам’яті.
Досліджено модель дифузії з тензором коефіцієнтів дифузії, що вироджується на множині асимптотично повної міри. Вивчено асимптотичну поведінку розв’язків відповідної початково-крайової задачі і показано, що головний член асимптотик описується усередненою моделлю з пам’яттю.
Вивчено початково-крайову задачу для рівняння реакції-дифузії з коефіцієнтом дифузії, що асимптотично вироджується на періодичній множині. Знайдено усереднену двохмасштабну модель, що описує асимптотичну поведінку розв’язків цієї задачі коли .
Досліджено спектральну та нестаціонарну моделі коливань пружних середовищ з великим числом важких абсолютно твердих включень. Для спектральної моделі знайдено усереднену спектральну задачу для дрібно-раціонального операторного пучка, яка асимптотично описує глобальні коливання (коливання, що збуджують все середовище). Показано, що існують також локальні коливання (які зосереджені в околі включень), вони відповідають власним значенням, які нагромаджуються в полюсах пучка. Для нестаціонарної моделі знайдено усереднену задачу, що є нелокальною за часом. Доведено теореми збіжності.
В дисертаційній роботі вивчено три моделі сильно неоднорідних середовищ, що виказують ефект пам’яті. У всіх трьох моделях цей ефект з’являється при усередненні, тоді як вихідні нестаціонарні задачі є локальними за часом. В роботі:
Досліджено модель дифузії з тензором коефіцієнтів дифузії, що вироджується на множині асимптотично повної міри. Вивчено асимптотичну поведінку розв’язків відповідної початково-крайової задачі і показано, що головний член асимптотик описується усередненою моделлю з пам’яттю. В одному періодичному випадку усереднену модель знайдено в явному вигляді.
Вивчено початково-крайову задачу для рівняння реакції-дифузії з коефіцієнтом дифузії, що асимптотично вироджується на періодичній множині. Знайдено усереднену двохмасштабну модель, що описує асимптотичну поведінку розв’язків цієї задачі коли . На відміну від лінійних задач, ефект пам’яті в цій усередненій моделі є нелінійним, відповідний член рівнянь не може бути зведений до інтегро-диференціального оператора типу згортки, як в лінійному випадку.
Досліджено спектральну та нестаціонарну моделі коливань пружних середовищ з великим числом важких абсолютно твердих включень. Для спектральної моделі знайдено усереднену спектральну задачу для дрібно-раціонального операторного пучка, яка асимптотично описує глобальні коливання (коливання, що збуджують все середовище). Показано, що в таких середовищах виникають також локальні коливання (які зосереджені в околі включень); вони відповідають власним значенням, які нагромаджуються в полюсах пучка. Для нестаціонарної моделі знайдено усереднену задачу, що є нелокальною за часом. Доведено теореми збіжності.
Зазначимо, що ефекти пам’яті в розглянутих моделях обумовлено різними причинами. Якщо в першій та другій моделі вони спричинені контрастними транспортними властивостями різних компонентів середовища, в останній моделі ефект пам’яті виникає завдяки великій інертності включень.
Публікації автора:
Рыбалко В.А. Усредненная модель собственных колебаний упругой среды с большим числом абсолютно твердых тяжелых включений // Доп. НАН України. - 2001.- № 6. - С. 18 - 24.
Rybalko V. Vibrations of elastic systems with a large number of tiny heavy inclusions // C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I. - 2002. - Vol. 334. - P. 245 – 250.
Rybalko V. Vibrations of elastic systems with a large number of tiny heavy inclusions // Asymptotic Anal. - 2002. – Vol. 32, № 11. - P. 27 - 62.
Панкратов Л.С., Рыбалко В.А. Асимптотический анализ модели двойной пористости с тонкими трещинами // Матем. cб. - 2003. – Т. 194, № 1. - P. 121 - 146.
Pankratov L., Piatnitskii A., Rybalko V. Homogenized model of reaction-diffusion in a porous medium // C. R. Mecanique. - 2003. - Vol. 331. - P. 253 – 258.
Панкратов Л.С., Рыбалко В.А. Асимптотический анализ модели двойной пористости с тонкими трещинами // Тезисы докладов международной конференции “Inverse Problems and Nonlinear Equations”.- Харьков.– 2002.– С. 68.
