187. Краснитський Сергій Михайлович. Умови еквівалентності та ортогональності ймовірнісних мір, що відповідають гауссівським узагальненим однорідним випадковим полям: дис... д-ра фіз.- мат. наук: 01.01.05 / НАН України; Інститут математики. - К., 2004.
Анотація до роботи:
Краснитський С.М. Умови еквівалентності та ортогональності ймовірнісних мір, що відповідають гауссівським однорідним випадковим полям.– Рукопис. Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.05 – теорія ймовірностей і математична статистика. Інститут математики НАН України, Київ, 2004 р..
Дисертацію присвячено пошуку критеріїв еквівалентності та ортогональності гауссівських ймовірнісних мір, що відповідають узагальненим однорідним випадковим полям, в термінах основних ймовірнісних характеристик останніх – середнього значення, кореляційних функціоналів та спектру. В роботі отримано необхідні і достатні умови еквівалентності зазначених ймовірнісних мір в термінах виконання спеціальних інтегральних представлень для звужень на множину спостережень випадкового поля різниць середніх значень та кореляційних функціоналів. При умові існування спектральних щільностей випадкового поля в термінах названих ймовірнісних характеристик останнього одержано критерії еквівалентності для основних типів спектру, що розглядається у статистиці випадкових полів. Зокрема, вперше встановлено необхідні і достатні умови еквівалентності в термінах властивостей різниць середніх значень та кореляційних функціоналів при спектральних щільностях вигляду дробово-раціональних функцій кількох змінних та у деяких більш загальних випадках. Одержано також умови еквівалентності у вигляді певних вимог відносно спільної поведінки спектральних щільностей розглядуваних полів.
В даній дисертації розроблена система умов еквівалентності (ортогональності) ймовірнісних мір, що відповідають гауссівським узагальненим однорідним полям. При цьому одержано наступні основні результати.
Встановлено умови еквівалентності в термінах певних інтегральних зображень різниць середніх значень та кореляційних функціоналів розглядуваних полів.
Одержано необхідні і достатні умови припустимості встановлених інтегральних зображень для функціоналів, визначених на підмножинах простору швидко спадаючих нескінченно диференційовних функцій .
Введено тип спектру узагальненого однорідного випадкового поля, що характеризується наявністю спектральної щільності f(), задовольняючої нерівності
,
в якій – перетворення Фур’є узагальненої функції з компактним носієм, яка не є тотожнім нулем. Показано, що основна частина розглядуваних в статистичній літературі спектральних мір належить даному типові. Доведено, що умови еквівалентності досліджуваних мір у даному випадку припускають деяке спрощення.
У зв’язку з можливістю представлення узагальненого однорідного випадкового поля у вигляді певного линійного перетворення звичайного однорідного поля, досліджено взаємовідношення між еквівалентноістю мір, відповідаючих першому полю и другому. Виділені випадки, коли з еквівалентності перших з названих мір випливає еквивалентність мір, відповідаючих другому полю і навпаки. Встановлено також, що в загальному випадку зазначена ситуація не має місця.
В термінах середніх значень та кореляційних функціоналів знайдено необхідні і достатні умови еквівалентності ймовірнісних мір, що відповідають гауссівським узагальненим однорідним полям при існуванні спектральних щільностей, для яких мають місце нижні та верхні оцінки, припускаючі певне представлення. Вказане представлення є узагальненням представлення Гільберта – Артіна невід’ємної дробово-раціональної функції кількох дійсних змінних (17-та проблема Гільберта).
Вперше у повній загальності одержано критерії еквівалентності ймовірнісних мір, відповідаючих полям із спектральними щільностями основних типів, застосовуваних у статистичних дослідженнях – дробово-раціональних функцій від координат вектора частот, дробово-раціональних функцій від тригонометричних поліномів координат вектора частот і самих вказаних координат, а також дробово-раціональних функцій координат вектора частот і дійсних степенів їх абсолютних величин .
Одержано достатню умову еквівалентності в термінах спектру узагальненого однорідного поля, що полягає в належності виразу простору , де – перетворення Фур’є узагальненої функції з непустим компактним носієм. Одержено модифікацію зазначеної умови на випадок, коли спектральна щільність має дійсні нулі. В якості застосування наведених результатів, зокрема, одержано достатні умови еквівалентності ймовірнісних мір для випадкових полів, які є розв’язками стохастичних диференційних рівнянь в частинних похідних із сталими коефіцієнтами, що узагальнює деякі результати К. Інойє [38] і Ю.А. Розанова [116].
Одержано необхідні умови еквівалентності ймовірнісних мір в термінах спектру. Дані умови є модифікаціями необхідної умови (для звичайних полів) А.В. Скорохода – М.Й. Ядренка на ситуацію, в якій різниця - може змінювати знак, а поле є узагальненим.
Розроблено загальну схему одержання достатніх умов еквівалентності ймовірнісних мір в термінах спектру випадкового поля з урахуванням залежності від множини, на якій спостерігається дане поле (умов типу І.І. Гіхмана – А.В. Скорохода, відомих раніше для звичайних стаціонарних процесів). Наведено конкретизації запропонованої схеми, що дозволяють одержувати як відомі раніше результати даного типу, так і нові.
Одержано необхідні і достатні умови еквівалентності в термінах спектру випадкового поля, що мають місце, зокрема, у випадку існування спектральних щільностей з ізотропною степеневою асимптотикою на нескінченності. В останньому випадку результати формулюються в термінах коефіцієнтів та показників степенів зазначеної асимптотики.
Публікації автора:
Краснитский С.М. О разрешимости одного интегрального уравнения статистики случайных полей // Теория случайных процессов. – 1978. - в.6. - С. 55-61.
Краснитский С.М. Несколько теорем о разрешимости одного интегрального уравнения статистики случайных полей // Теория вероятностей и математическая статистика. - 1979. - в. 21. - С.75-85.
Краснитский С.М. Несколько примеров эквивалентных и ортогональных гауссовских распределений // Теория вероятностей и её применения. - 1979. - т. 24, №1. - С.160-164.
Краснитский С.М. О спектральных условиях эквивалентности гауссовских мер для однородных случайных полей // Резюме докладов Республиканского семинара по теории вероятностей и мат. статистике при Киевском гос. университете им. Т.Г.Шевченко. - Теор. вер. и её примен. – 1983. - №3. – С. 639-640.
Краснитский С.М. Об условиях эквивалентности распределений гауссовских однородных полей // Тезисы докл. 4-й международной Вильнюсской конференции по теории вероятностей и матем. статистике. - Том 2. – Вильнюс: Ин.-т математики и кибернетики АН Лит. ССР. – 1985. – С. 72-74.
Краснитский С.М. Условия эквивалентности гауссовских мер, соответствующих однородным случайным полям с умеренно убывающими спектральными плотностями // Резюме докладов Республиканского семинара по теории вероятностей и мат. статистике при Киевском гос. университете им. Т.Г.Шевченко. - Теор. вер. и её примен. – 1987. - №1. – С. 199-200.
Краснитський С.М. Условия эквивалентности распределений гауссовских однородных полей // Теория вероятностей и её применения – 1989. – т.34, №4. - С.786-791
Краснитський С.М. Про один клас спектральних умов еквівалентності гаусових мір, що відповідають однорідним випадковим полям // Доповіді Академії Наук України. – 1993. - №3. - С.37-39.
Краснитский С.М. О необходимых условиях эквивалентности гауссовских мер, соответствующих однородным случайным полям // Український математичний журнал. – 1994 - т. 46, №6. - С.708-719.
Краснитський С.М. Про одну спектральну умову еквівалентності гауссівських мір // Тези доповідей Міжнародної математичної конференції, присвяченій пам’яті Ганса Гана.- Чернівці: Рута. - 1994. – С. 75.
Krasnitskiy S.M. On some conditions for Gaussian measures equivalence // Abstracts of the 1-st Ukrainian-Scandinavian Conference «Stochastical Dynamical Systems: Theory and Applications». – Kiev: TBiMC Scientific Publishers. - 1995. – P.50.
Краснитский С.М. О необходимых и достаточных условиях эквивалентности вероятностных мер, отвечающих однородным случайным полям, обладающим спектральными плотностями // Кибернетика и системный анализ. – 1997. - в.5. - С.36-43.
Krasnitskiy S.M. On some sufficient conditions of equivalence of Gaussian measures corresponding to generalized random fields // Methods of Functional Analysis and Topology. - 1997 - v.3, №2. - Р.65-71.
Krasnitskiy S.M. On Applications of 17th Hilbert Problem for Obtaining of Eguivalence Conditions for Gaussian Measures // Abstracts of the 2-nd Scandinavian – Ukrainian Conference in Mathematical Statistics. – Umea (Sweden). -1997. – P.48.
Krasnitskiy S.M. On conditions of equivalence of Gaussian measures that corresponds to generalized homogeneous random fields with different correlation functionals // Random Operators and Stochastic Equations. – 1997. - №5. - Р.253-262.
Krasnitskiy S.M. On Applications of 17th Hilbert Problem for Obtaining Gaussian Measures Eguivalence Conditions // Theory of Stochastic Processes. – 1997. - т. 3(19), № 1-2. - Р.228-233.
Краснитський С.М. Об условиях эквивалентности гауссовских мер, отвечающих однородным случайным полям с различными математическими ожиданиями // Доповіді НАН України.- 1998. - №2. - С. 35-39
Краснитський С.М. Про одну спектральну умову еквівалентності гаусових мір, що відповідають однорідним випадковим полям // Теорія ймовірностей та математична статистика. –1998. - №60. - С. 95-104
Krasnitskiy S.M. On Spectral Equivalence Conditions Depending on the Set of Observations for Gaussian Measures Corresponding to Generalized Random Fields // Abstracts of the Third Ukrainian-Scandinavian Conference in Probability Theory and Mathematical Statistics. – Kyiv (Ukraine). - 1999. – P. 76.
Краснитский С.М., Кривый С.Л. О достаточных условиях эквивалентности гауссовских мер, соответствующих однородным полям, спектральные плотности которых имеют вещественные нули // Кибернетика и системный анализ. – 1999. - в.6. - С.37-48
Краснитський С.М. Про спектральні умови типу Гіхмана – Скорохода еквівалентності гауссівських мір. що відповідають однорідним випадковим полям // Теорія ймовірностей та математична статистика. – 2000. - №62. - С.65-76
Краснитский С.М. Некоторые сравнительные аспекты условий эквивалентности вероятностных мер, соответствующих обычным и обобщённым случайным полям // Кибернетика и системный анализ. – 2000. - в.5. - С.68-77
Краснитський С.М. Про умови еквівалентності та сингулярності ймовірнісних гауссівських мір, що відповідають однорідним полям із степеневим спектром // Вісник Київського університету. Серія: фіз.-мат. науки. – 2001. - №1. - С.33-42
Краснитський С.М. Про умови еквівалентності ймовірнісних гауссівських мір, що відповідають однорідним полям із степеневим спектром у випадку різних кореляційних функцій // Вісник Київського університету. Серія: фіз.-мат. науки. – 2001. - №2. - С. 40-51
Краснитський С.М. Про умови еквівалентності ймовірнісних мір, що відповідають однорідним гауссівським випадковим полям з різними спектральними щільностями степеневого типу // Вісник Київського університету. Серія: фіз.-мат. науки. – 2001. - №3. - С. 32-37.
Краснитський С.М. Про локальні умови еквівалентності ймовірнісних мір, що відповідають гауссівським однорідним полям із степеневим спектром (випадок різних середніх значень) // Вісник Київського університету. Серія: фіз.-мат. науки. – 2001. - №4. - С. 56-66.
Краснитський С.М. Про умови еквівалентності гауссівських мір, що відповідають випадковим однорідним полям із спектральними щільностями степеневого типу. – Тези доповідей 1-го Українського математичного конгресу. – Секція 9. – Київ: Ін.-т математики НАН України. – 2001. – С. 20.
Krasnitskiy S.M. A sufficient condition for the equivalence of probability measures corresponding to Gaussian Homogeneous random fields // Theor. Prob. and Math.Statist. – 2002. - №64. - Р. 85-91.
