В дисертації досліджено відомі та побудовано нові ефективні алгоритми розв’язування задачі Коші для операторно-диференціальних рівнянь першого й другого порядків у гільбертовім і банаховім просторах. 1. У випадку скінченної гладкості початкового вектора задачі Коші для рівняння першого порядку в гільбертовім просторі із самоспряженим додатно визначеним щільно заданим оператором одержано нову інтегральну оцінку швидкості збіжності методу перетворення Келі та доведено її майже (з точністю до логарифма) непокращуваність за порядком , де –– кількість доданків часткової суми ряду, що зображує точний розв’язок задачі Коші. 2. Для цієї ж задачі при початковому векторі з простору Рум’є доведено експоненціальну швидкість збіжності методу перетворення Келі, а для оцінки його точності показано непокращуваність за порядком . 3. При початковому векторі скінченної гладкості, а також у випадку його аналітичності одержано нові інтегральні оцінки з ваговою функцією, які враховують початковий ефект у тій самій задачі. 4. Доведено нову поліноміальну оцінку швидкості збіжності методу перетворення Келі для наближення операторного косинуса в гільбертовім просторі при та встановлено її майже (з точністю до логарифма) непокращуваність за порядком . 5. Для цієї ж задачі одержано нову оцінку експоненціальної швидкості збіжності методу перетворення Келі та показано її непокращуваність за порядком, якщо початковий вектор є елементом простору Рум’є . 6. Запропоновано новий метод дискретизації задачі Коші для лінійного неоднорідного диференціального рівняння першого порядку в банаховім просторі (гільбертовім просторі ) із сильно позитивним (самоспряженим додатно визначеним) при кожному необмеженим операторним коефіцієнтом , який має щільну в () і не залежну від область визначення . Одержано апріорні оцінки похибки методу. Примітно, що новий алгоритм має довільний порядок точності та дозволяє розпаралелювати обчислення. 7. Встановлено і доведено достатні умови сильної стійкості розв’язків задачі Коші для еволюційного рівняння (на відміну від відомих результатів, наприклад, Самарського О. А., Вабіщевича П. М., Матуса П. П., в дисертації не вимагається, щоб вихідний оператор і його збурення комутували). На підставі доведених тверджень про сильну стійкість розроблено реалізацію методу за умови поліноміальних наближень оператора і правої частини рівняння. Становлять також самостійний інтерес доведені в дисертаційній роботі допоміжні твердження, як-от: операторний аналог теореми про лишки, точні формули для інтегралів від операторних функцій тощо. Засобами пакету Maple проведено числові розрахунки, які підтверджують непокращуваність одержаних апріорних оцінок швидкості збіжності методу. Достовірність одержаних результатів ґрунтується на строгості доведень усіх тверджень, а їхня вірогідність –– на несуперечності з відомими результатами, перевірці правильності теоретичних положень на тестових прикладах, а також на повноті викладу в публікаціях і належному рівні апробації. | 