Анотація до роботи:

Кирчей І. І. Теорія стовпцевих і рядкових визначників та обернена матриця над тілом з інволюцією. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 – алгебра і теорія чисел. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка. Київ, 2008.

У дисертації введені нові матричні функціонали, - стовпцеві і рядкові визначники квадратних матриць над тілом, що є композиційною нерозщеплюваною асоціативною алгеброю над своїм центром – полем нульової характеристики. Досліджені їх властивості для довільних квадратних матриць. Зокрема, показано, що вони володіють властивістю розкладу Лапласа для стовпцевих – по відповідному стовпцю і для рядкових визначників по відповідному рядку матриці. Доведено, що стовпцеві та рядкові визначники ермітової матриці рівні між собою та приймають своє значення в полі. І це значення, в силу його однозначності, означається як визначник ермітової матриці. Досліджені властивості визначника ермітової матриці через стовпцеві та рядкові визначники. В рамках теорії стовпцевих та рядкових визначників вводиться поняття подвійного визначника квадратної матриці над тілом. Показано, що цей визначник коректно означений, оскільки задовольняє аксіоми некомутативного визначника. Крім того, засобом стовпцевих та рядкових визначників, він задовольняє властивість розкладу його по будь-якому стовпцю чи рядку. Одержано визначникове зображення оберненої матриці через аналоги класичної приєднаної матриці, елементами яких є відповідні праві або ліві подвійні алгебричні доповнення. Розв’язки правої і лівої систем лінійних рівнянь аналітично представлені формулами, що узагальнюють правило Крамера.

Дисертаційна робота присвячена введенню та розробці теорії нових матричних функціоналів, - стовпцевих і рядкових визначників квадратних матриць над тілом з інволюцією, з метою одержання визначникового зображення оберненої матриці через аналог класичної приєднаної, і, як наслідок, узагальнення правила Крамера для правих і лівих систем лінійних рівнянь над тілом з інволюцією. У дисертаційній роботі одержано наступні нові результати.

1) Введені нові поняття стовпцевих та рядкових визначників квадратних матриць над тілом з інволюцією, яке є асоціативною композиційною алгеброю з діленням над своїм центром – полем нульової характеристики. На основі досліджених властивостей цих визначників показано, що для довільних квадратних матриць над тілом з інволюцією вони є повним узагальненням визначника Мура, що розглядався тільки в класі ермітових матриць.

2) У рамках теорії стовпцевих та рядкових визначників введені визначник ермітової матриці та подвійний визначник довільної квадратної матриці над даним тілом. Подвійний визначник представлений як визначник, що задовольняє як аксіоми некомутативного визначника, так і, засобом стовпцевих та рядкових визначників, властивість розкладу Лапласа по будь-якому стовпцю чи рядку матриці над тілом, яке є кватерніоновою алгеброю з діленням над своїм центром – полем нульової характеристики.

3) Встановлено критерій оборотності довільної квадратної матриці над тілом з інволюцією в термінах теорії стовпцевих та рядкових визначників. Одержано визначникове зображення оберненої матриці над тілом з інволюцією через аналог класичної приєднаної.

4) Одержано узагальнення правила Крамера для правих і лівих систем лінійних рівнянь над тілом з інволюцією.

Робота має теоретичний характер. Її результати можуть бути використані в подальших дослідженнях в теорії матриць з некомутуючими елементами.

Публікації автора:

1. Кирчей І.І. Дробово-раціональна регуляризація системи лінійних рівнянь над тілом кватерніонів / І. І. Кирчей // Мат. методи та фізико-механічні поля. – 1996. – 39, № 2. – С. 89-95.

2. Кирчей І.І. Класична приєднана матриця для ермітової над тілом / І. І. Кирчей // Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 2001. – 44, №3. – С. 33–48.

3. Кирчей І.І. Матриця, обернена до ермітової над тілом / І. І. Кирчей // Вісник Львів. ун-ту. Сер. прикл. математика та інформатика. – 2002. – Вип. 4. – С. 120-125.

4. Кирчей І.І. Аналог класичної приєднаної матриці над тілом з інволюцією / І. І. Кирчей // Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 2003. – 46, №4. – С.81–91.

5. Кирчей І.І. Правило Крамера над кватерніоновою алгеброю з діленням / І. І. Кирчей // Вісник Київського університету. Серія фізико-математичні науки. - 2006. - №1. - С.28-34.

6. Кирчей И. И. Правило Крамера для кватернионных систем линейных уравнений / И. И. Кирчей // Фундаментальная и прикладная математика. – 2007. – 13, №4. – С. 67–94.

7. Кирчей І. І. Про системи лінійних рівнянь в алгебрі кватерніонів // Тези доповідей Міжн. школи-семінару “Ланцюгові дроби, їх узагальнення та застосування”, (Львів, 18-25 вересня 1994 р.) / ІППММ НАН України, Держ. ун-т Львівська політехніка – Л.: ІППММ, 1994. – С. 4.

8. Кирчей І. І. Обернена матриця над тілом // IX міжн. наукова конференція ім. ак. М.Кравчука. Матеріали конференції, (Київ, 16-19 травня 2002 р.) / НАНУ Ін-т матем, КНУ ім. Т. Шевченка, НПУ ім. Драгоманова, НТУ “КПІ”. – К.: НТУ “КПІ”, 2002. – С. 297.

9. Кирчей І. І. Аналог класичної приєднаної матриці над тілом // Тези доповідей Міжн. школи-семінару “Ланцюгові дроби, їх узагальнення та застосування”, (Ужгород, 19-24 серпня 2002) / ІППММ НАН України, УНУ, НУ “Львівська політехніка”. – Ужгород: УНУ, 2002. – С. 36.

10. Кирчей І. І. Нормальний розв’язок систем лінійних рівнянь над тілом // Тези доповідей третьої всеукраїнської наукової конференції “Нелінійні проблеми аналізу”, (Івано-Франківськ, 9-12 вересня 2003 р.) / НАНУ Ін-т матем, ІППММ НАН України, Прик. держ. ун-т., “Львівська політехніка”. – Ів.-Фр.: ПДУ, 2003. - С. 46.

11. Кирчей І. І. Правило Крамера над тілом кватерніонів // X міжн. наукова конференція ім. ак. М. Кравчука. Матеріали конференції, (Київ, 13-16 травня 2004 р.) / НАНУ Ін-т матем, КНУ ім. Т. Шевченка, НПУ ім. Драгоманова, НТУ “КПІ”. – К.: НТУ “КПІ”, 2004. - С. 302.

12. Кирчей І. І. Узагальнена обернена матриця над тілом // Тези доповідей Міжн. конф. ім. В. Я. Скоробагатька, (Дрогобич, 27 вересня – 1 жовтня 2004 р.) / ІППММ НАН України, КНУ ім. Т. Шевченка, ЛНУ ім. І. Франка, НУ “Львівська політехніка”, ДДПУ. – Л:, ІППММ НАН України, 2004. – С.92.

13. Kyrchei I.I. Generalization of Cramer's rule over a skew field // Тезисы докладов Межд. алгебраической конференции, посвящённой 250-летию Московского университета, (Москва, 26 мая –2 июня 2004 г.) / МГУ. – М:, МГУ, 2004. - С. 226-228.

14. Kyrchei I.I. The least square solution of system of linear equations over the quaternion skew field // Тезисы докладов Межд. алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения П.Г.Конторовича и 70-летию Л.Н.Шеврина. (Екатеринбург, 29 августа – 3 сентября 2005 р.) / УГУ. – Екатеринбург: УГУ, 2005. - С. 128-129.

15. Kyrchei I. Determinantal representation of the inverse matrix over the quaternion skew field // 5^th International Algebraic Conference in Ukraine. Abstracts, (Odessa, 20-27 June 2005.) / Inst. of Math of NASU, Kyiv Nat. Taras Shevchenko Un., Odessa I.I.Mechnikov Un.– Odessa, 2005. - P. 120.

16. Кирчей І.І. Визначникове зображення узагальненої оберненої Мура - Пенроуза // XI міжн. наук. конференція ім. ак. М. Кравчука. Матеріали конференції, (Київ, 18-20 травня 2006 р.) / НАНУ Ін-т матем, КНУ ім. Т. Шевченка, НПУ ім. Драгоманова, НТУ “КПІ”. – К: НТУ “КПІ”, 2006. - С. 452.

17. Kyrchei I. Determinantal representation of the Moore-Penrose inverse matrix over quaternion skew field // 6^th International Algebraic Conference in Ukraine. Abstracts, (Kamyanets-Podilsky, 1-7 Jule 2007.) / Inst. of Math of NASU, Kyiv Nat. Taras Shevchenko Un., Kamyanets-Podilsky St. Un. - Kamyanets-Podilsky, 2007.– P. 120 – 121.