Анотація до роботи:

Ільченко С.А. Стохастичний аналіз дробових броунівських полів. — Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за
спеціальністю 01.01.05 — теорія ймовірностей і математична статистика. — Київський
національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2005.

Дисертаційна робота присвячена побудові стохастичного аналізу для двопараметричних дробових броунівських полів, зокрема, побудові стохастичних інтегралів за дробовим броунівським полем, виведенню формули Іто та дослідженню стохастичних диференціальних рівнянь, що містять дробові броунівські поля. У дисертації побудовано операції інтегрування відносно двопараметричного дробового броунівського руху; виведено представлення двопараметричного сильного мартингала Молчана через інтеграл відносно двопараметричного дробового броунівського руху на скінченному прямокутнику. За допомогою узагальнених інтегралів Лебега-Стілтьєса побудовано інтеграли від випадкових гельдерових функцій по дробовому броунівському полю; доведено властивості узагальнених інтегралів Руссо-Валлуа від випадкових полів. Виведено формулу Іто для випадкових полів, які мають узагальнену квадратичну варіацію в термінах узагальнених інтегралів Руссо-Валлуа; виведено форму Іто для лінійної комбінації дробових броунівських полів з індексами Хюрста , в термінах узагальнених інтегралів Лебега-Стілтьєса. Виведено оцінки для норм узагальнених двопараметричних стохастичних інтегралів відносно дробових броунівських полів на площині в просторах типу Бєсова. Доведено існування та єдиність розв’язку стохастичного диференціального рівняння, що містить дробове броунівське поле.

У дисертаційній роботі вводяться поняття, пов’язані з дробовим броунівським рухом. Уведено означення двопараметричних дробових інтегралів та похідних, двопараметричних узагальнених інтегралів Лебега-Стілтьєса, дробового броунівського поля та інші. Побудовано вінерівський інтеграл (тобто інтеграл від невипадкової функції) за дробовим броунівським полем та досліджено його властивості, зокрема, побудовано сильний мартингал Молчана, що відповідає дробовому броунівському полю.

Вводяться узагальнені інтеграли Лебега-Стілтьєса і за їхньою допомогою будуються
інтеграли від випадкових гельдерових функцій за дробовим броунівським полем, а також
встановлюються деякі властивості узагальнених інтегралів Руссо-Валлуа від випадкових полів.

Виведено формулу Іто для випадкових полів, які мають узагальнену квадратичну варіацію, у термінах узагальнених інтегралів Руссо-Валлуа. Виведено умови існування узагальненої квадратичної варіації та наведено приклади обчислення узагальнених інтегралів та узагальнених квадратичних характеристик. Введено поняття поля з нульовою енергією та доведено, що дробове броунівське поле має нульову енергію. Важливим результатом є теорема, яка пов’язує узагальнені дробові інтеграли Лебега-Стілтьєса та узагальнені інтеграли Руссо-Валлуа від дробових броунівських полів з індексами Хюрста , . Доведено існування дробових узагальнених інтегралів Лебега-Стілтьєса другого роду та виведено формулу Іто для дробових броунівських полів у термінах узагальнених інтегралів Лебега-Стілтьєса.

Визначено оцінки для норм у просторах типу Бєсова узагальнених двопараметричних
стохастичних інтегралів відносно дробових броунівських полів на площині. Ці оцінки
використано для дослідження стохастичних диференціальних рівнянь на площині, що містять двопараметричний дробовий броунівський рух, доведено існування та єдиність розв’язку.

Всі одержані в роботі результати є новими і мають теоретичне спрямування та практичне застосування в метеорології, радіоелектроніці, гідромеханіці, теорії масового обслуговування, стохастичному моделюванні, та в інших галузях, в яких використовуються випадкові процеси.

Публікації автора:

1. Ільченко С.А., Мішура Ю.С. Узагальнені інтеграли для випадкових полів // Теорія ймовірностей та математична статистика. — 2002. — № 67. — С. 57-70.

2. Ільченко, С.А. Порівняння властивостей дробових похідних за Ліувіллем і за Маршо від багатопараметричних функцій // Вісник КНУ ім. Т. Шевченка. Серія: Математика. Механіка. — 2003. — № 9-10. — C. 41-48.

3. Мішура Ю.С., Ільченко С.А. Формула Іто для дробових броунівських полів // Теорія ймовірностей та математична статистика. — 2003. — № 69. — C. 141-153.

4. Mishura Yu.S., Ilchenko S.A. Some estimates for two-parameter generalized stochastic Lebesgue-Stieltjes integrals // Theory of Stochastic Processes. — 2003. — Vol. 9 (25), no. 3-4. — P. 87-100.

5. Ільченко С.А., Мішура Ю.С. Узагальнені двопараметричні інтеграли Лебега-Стільтьєса та їх застосування до дробових броунівських полів // Український математичний журнал. — 2004. — Т. 56, № 4. — С. 435-450.

6. Ільченко С.А. Оцінки дробових норм від інтегралів по дробовому броунівському полю // Доповіді НАН України. — 2005. — № 4. — C. 12-17.

7. Мішура Ю.С., Ільченко С.А. Побудова вінерівських інтегралів відносно дробових
   броунівських полів // Вісник КНУ ім. Т. Шевченка. Серія: фізико-математичні науки. — 2005. — 2. — С. 46-52.

8. Ilchenko S.A. Stochastic calculus with respect to fractional Brownian fields // International Summer Seminar “Stochastic Dynamical Systems”. — Sudak, Crimea (Ukraine), 2003. — P. 24.

9. Ільченко С.А. Дробові броунівські поля у застосуванні до задач фінансової математики // Прикладна статистика, актуарна та фінансова математика. (Матеріали другої
   міжнародної науково-практичної конференції студентів, аспірантів і молодих вчених “Сучасні задачі прикладної статистики, промислової, актуарної та фінансової
   математики”). — Донецьк (Україна), 2004. — № 1-2. — C. 194.

10. Ільченко С.А. Стохастичний аналіз та математичне моделювання випадкових полів з довгостроковою залежністю // Матеріали IV Всеукраїнській конференції молодих
    науковців “Інформаційні технології в освіті, науці і техніці” ІТОНТ-2004. — Черкаси (Україна), 2004. — C. 59-62.

11. Ільченко С.А. Формула заміни змінних для гельдерових та дробових броунівських полів // Матеріали Десятої міжнародної наукової конференції імені академіка М. Кравчука. — Київ (Україна), 2004. — C. 598.

12. Ilchenko S.A. Stochastic properties of Holder and fractional fields // Fourth European Congress of Mathematics “Mathematics in Science and Technology”. www.math.kth.se/4esm. — Stockholm (Sweden), 2004. — P. 1.

13. Ільченко С.А. Оцінки для інтегральних функціоналів від дробового броунівського поля // Матеріали міжнародної конференції пам’яті В.Я. Буняковського (1804 — 1889). — Київ (Україна), 2004. — C. 66-67.

14. Ільченко С.А. Елементи стохастичного аналізу дробових броунівських полів // Матеріали міжнародної наукової конференції “Функціональні методи в теорії наближень, теорії операторів, стохастичному аналізі і статистиці ІІ”, присвяченій пам’яті
    А.Я. Дороговцева (1935 — 2004). — Київ (Україна), 2004. — C. 49-50.

15. Мішура Ю.С., Ільченко С.А., Ральченко К.В. Існування, єдиність та властивості
    розв’язків стохастичних диференціальних рівнянь відносно дробового броунівського поля на площині // Матеріали міжнародної наукової конференції “Диференціальні рівняння та їх застосування”, присвяченої 60-річчю кафедри інтегральних та диференціальних рівнянь Київського національного університету імені Тараса Шевченка. — Київ (Україна), 2005. — C. 74.