Губа А.О. Стаціонарні та рівномірно-обертові конфігурації точкових вихорів. – Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.05 – механіка рідини, газу та плазми, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2008.
Дисертація присвячена знаходженню стаціонарних та рівномірно-обертових конфігурацій точкових вихорів однакової інтенсивності в ідеальній нестисливій рідині на необмеженій площині.
В роботі представлено новий метод знаходження рівномірно-обертових конфігурацій систем точкових вихорів однакової інтенсивності . Метод базується на розв’язанні нелінійної алгебраїчної системи рівнянь руху точкових вихорів. Представлений метод дозволяє визначити як стійкі, так і нестійкі конфігурації точкових вихорів на площині.
Побудовано каталог симетричних конфігурацій точкових вихорів при . Класифіковано отримані вихрові структури на правильні, полігональні та розміщені по концентричних колах Проведено порівняльний аналіз з класами рівномірно-обертових конфігурацій точкових вихорів, наведеними в літературі.
За допомогою запропонованого методу знайдено ряд несиметричних вихрових структур. Побудовано каталог несиметричних конфігурацій при . Більшість з представлених несиметричних вихрових структур являються новими. Наведено всі точні початкові координати вихорів в декартовій системі координат як для симетричних, так і для несиметричних рівномірно-обертових вихрових структур.
Побудовано траєкторії руху всіх отриманих конфігурацій точкових вихорів без початкового збурення та з малим збуренням початкових координат. Інтегрування проводилось за допомогою методу Рунге-Кутта.
Проведено чисельний аналіз стійкості всіх представлених рівномірно-обертових конфігурацій точкових вихорів. Показано, що всі симетричні конфігурації вихорів, представлені на рис.4, являються стійкими відносно малих збурень початкових координат. Всі несиметричні конфігурації (рис.5 та рис.6), являються нестійкими відносно малих збурень початкових координат.
Основні результати дисертаційної роботи сформульовано у такий спосіб:
1) Представлено новий чисельно – аналітичний метод знаходження рівномірно-обертових конфігурацій систем точкових вихорів однакової інтенсивності в ідеальній нев’язкій рідині на необмеженій площині. Метод базується на розв’язанні нелінійної алгебраїчної системи рівнянь руху точкових вихорів, де в якості початкового наближення вибрано стаціонарну конфігурацію порядку та стаціонарну точку потоку рідини в системі координат, що обертається з постійною кутовою швидкістю, рівною кутовій швидкості обертання вихрової системи порядку . Представлений метод дозволяє визначити як стійкі, так і нестійкі конфігурації рівномірно-обертових систем однакових точкових вихорів.
2) Сформовано доповнений аналог (фрагмент при ), так званого, „Лос-Аламоського каталогу”, який вважається найбільш повним зібранням стійких вихрових конфігурацій для , що розміщуються на вкладених одне в одне концентричних колах (рис.4). Отриманий фрагмент каталогу, принаймні при , відрізняється від вищевказаного наявністю трьох нових конфігурацій 83, 91 та 101. В роботі класифіковано отримані вихрові структури та проведено порівняльний аналіз з класами рівномірно-обертових конфігурацій точкових вихорів, наведеними в літературі. Суттєвою відмінністю від знайдених в літературі рівномірно-обертових конфігурацій вихорів являється наведення точних (до десятого порядку малості) початкових координат в декартовій системі координат як для симетричних, так і для несиметричних вихрових структур.
3) Знайдено ряд несиметричних вихрових структур, які виникають вже при , а не . Побудовано каталог несиметричних конфігурацій при (рис.5 та рис.6). Більшість з представлених несиметричних вихрових структур являються новими.
4) Побудовано траєкторії руху отриманих рівномірно-обертових систем точкових вихорів без початкового збурення та з малим збуренням початкових координат.
5) Проведено чисельний аналіз стійкості всіх представлених рівномірно-обертових конфігурацій точкових вихорів. Показано, що всі симетричні конфігурації вихорів, представлені на рис.4, являються стійкими відносно малих збурень початкових координат. Всі несиметричні конфігурації (рис.5 та рис.6), являються нестійкими відносно малих збурень початкових координат.
6) Побудовані в роботі каталоги симетричних та несиметричних конфігурацій точкових вихорів однакової інтенсивності відіграють важливу роль та дозволяють сформувати ряд нових задач вихрової статики. Зокрема, несиметричні вихрові структури являються досить цікавою та новою задачею, їх можна використовувати в якості початкового наближення при побудові нових розв’язків системи рівнянь руху точкових вихорів в ідеальній нестисливій рідині на необмеженій площині.
Публікації автора:
1. Губа А.О., Гуржій О.А., Мелешко В.В. Рівномірно-обертові конфігурації точкових вихрів // Вісник Київського Університету. - Серія фіз.-мат. науки. - 2006. - Вип.1. - С.100-104.
2. Губа А.О. Про особливості одного алгоритму знаходження рівномірно-обертових конфігурацій точкових вихорів // Вісник Київського Університету. – 2007. – Т.18. – С.103-106.
4. Мелешко В.В., Губа А.А. Равномерно вращающиеся конфигурации точечных вихрей // Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела: Зб. наук. пр. – Донецк: Юговосток, 2006. - С. 250-252.
5. Губа А.О. Дослідження стійкості розв’язків нелінійних диференціальних рівнянь руху однакових точкових вихорів // Dynamical system modeling and stability investigation (DSMSI): Міжнар. конфер. КНУ імені Т.Шевченка, 22-25 травня 2007. – К., 2007. – С. 39.
6. Guba A. Stability of uniformly rotating configurations of point vortices // Euler Equations: 250 Years On (EE 250), - Aussois, France, June 18-23 2007. – Poster session. – http://www.oca.eu/etc7/EE250/abstracts/GUBA.pdf.
7. Guba A.O., Meleshko V.V. Stability of uniformly rotating configurations of point vortices // Актуальні проблеми механіки суцільного середовища і міцності конструкцій: Міжнар. наук.-техн. конфер. пам’яті академіка НАН Україна В.І.Моссаковського (1919-2006), 17-19 жовтня 2007 р. – Дніпропетровськ, 2007. – С. 173-174.
