Анотація до роботи:

Костенко О.С. Спектральний аналіз сингулярно збурених диференціальних операторів другого порядку. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. - Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 2006.

Дисертація присвячена дослідженню спектральних властивостей двох спеціальних класів несамоспряжених диференціальних операторів. Для сингулярних диференціальних операторів другого порядку з індефінітною вагою основну увагу приділено питанню подібності цих операторів до самоспряженого або нормального оператора. Так для оператора L_w =(sgn x)w(x)^-1d²/dx², де w(x) - додатня функція (вага), отримано нові достатні та необхідні умови подібності до самоспряженого оператора. Наведено приклад ваги w такої, що оператор L_w має сингулярну критичну точку нуль і не є подібним до самоспряженого. Також побудовано невід’ємний оператор – d²/dx² +q такий, що оператор з індефінітною вагою (sgn x) ( – d²/dx² +q) не є подібним до самоспряженого. Отримано критерій подібності до самоспряженого або нормального оператора для операторів, що задаються в гільбертовому просторі L²(R, ) формальною диференціальною операцією . Другий клас операторів – це оператор струни Крейна з тертям на лівому кінці L_S=codiag(id/dx; id/dM(x)). Цей клас операторів досліджено за допомогою теорії розширень симетричних операторів, тобто проведено спектральний аналіз відповідного симетричного оператора L₀, розширенням якого є оператор L_S.

У дисертації досліджено два спеціальні класи несамоспряжених диференціальних операторів. Перший клас – диференціальні оператори другого порядку з індефінітною ваговою функцією. Другий клас – оператор неоднорідної струни S з тертям на лівому кінці.

1. Досліджені спектральні властивості несамоспряженого оператора , який діє в гільбертовому просторі L²(R, w(x)dx). Доведено, що за умов оператор L_w – J-невід’ємний, дефінізовний та має дійсний спектр . В термінах m-функцій Вейля-Тітчмарша обчислено необхідні та достатні умови регулярності критичних точок 0 та оператора L_w. Також отримано нову необхідну умову подібності оператора L_w до самоспряженого оператора. Для деяких класів вагових функцій w(x) обчислено асімптотіку m-функції Вейля-Тітчмарша. За допомогою цих результатів отримано нову достатню умову подібності оператора L_w до самоспряженого в термінах вагової функції w(x). За допомогою необхідної умови подібності до самоспряженого вперше побудовано приклад оператора L_w з сингулярною критичною точкою 0. Також вперше наведено приклад J-невід’ємного оператора Штурма-Ліувілля (sgn x) ( -d²/dx + q(x)) з сингулярною критичною точкою 0 і який не є подібним до самоспряженого оператора в гільбертовому просторі L²(R).

2. На прикладі деяких модельних диференціальних операторів з індефінітною вагою досліджено питання про те, як впливає зміна граничних умов в точці нуль на подібність відповідного оператора самоспряженому. А саме, досліджено мінімальний симетричний оператор , що задається диференціальною операцією в гільбертовому просторі L²(R, ) (). Обчислено індекси дефекта цього оператора, побудована гранична трійка, та знайдена відповідна функція Вєйля. Це дозволило дослідити квазісамоспряжені розширення цього оператора – обчислити їх спектр, резольвенти, та отримати критерій подібності несамоспряжених розширень до самоспряженого (нормального) оператора.

Аналогічну схему досліджень було застосовано для квазісамоспряжених розширень оператора

dom(L_min)= , ,

Отримані результати застосовано для дослідження операторів із сингулярною взаємодією з

центром в точці 0

Для таких операторів обчислено критерій подібності до самоспряжного та нормального

операторів в термінах коефіцієнтів З цього критерію випливає той факт, що ці

оператори є подібними до нормального для майже всіх значень

3. За допомогою теорії розширень досліджено оператор струни з тертям на лівому кінці L_S. Головний інструмент дослідження – концепція граничних трійок та відповідних до них функцій Вейля. Доведена простота симетричного оператора L₀, розширенням якого є оператор L_S. Це дозволило отримати нове доведення простоти оператора L_S. Для симетричного оператора L₀, побудовано граничну трійку, обчислено відповідну функцію Вейля, описано розширення оператора L₀, які мають скалярну характеристичну функццію. Також наведено простий алгоритм для знаходження характеристичних функцій за допомогою формули Деркача-Маламуда для характеристичних функцій майже розв’язних розширень симетричного оператора. В свою чергу, оператор L_S є квазісамоспряженим розширенням оператора L₀, тому за певного вибору граничної трійки для оператора L₀ отримано формулу для характеристичної функції оператора L_S, яку було обчислено М.А. Нудельманом.

Основні результати дисертації опубліковано у працях:

1. Костенко А.С. Спектральный анализ несамосопряженных операторов вида

(sgn x)(D²+aD+bI +)// Доповiдi НАНУ. - 2004. - N 8. - C. 24-29.

2. Костенко А. С. О подобии самосопряженному некоторых индефинитных операторов Штур-ма-Лиувилля с сингулярным потенциалом// Матем. Заметки. - 2005. - Т. 78, N 1. - C. 147-151.

3. Костенко А. С. Струна Крейна и характеристические функции несамосопряженных операторов// "Исследования по линейным операторам и теории функций". Т. 33. (Зап. научн. сем. ПОМИ, Т.327, СПб, 2005). - С. 115-134.

4. Костенко А. С. О подобии самосопряженному некоторых J-неотрицательных операторов// Матем. Заметки.- 2006. - Т. 80, N 1. - C. 135-138.

5. Kostenko A. S. Spectral analysis of some indefinite Sturm-Liouville operators// Operator Theory' 20. Proc. International Conf. on Operator Theory, 2004 – Bucuresti (Romania): Theta, 2006, P.131-141.

6. Kostenko A. S. A spectral analysis of some indefinite differential operators// Methods of Functional Analysis and Topology. - 2006 - Vol. 12, N 2. - P. 157-169.