Анотація до роботи:

Анашкін О. В. Розвиток другого методу Ляпунова в теорії стійкості диференціальних і функціонально-диференціальних рівнянь. — Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 -- диференціальні рівняння. – Київський національний університет імені Тараса Шевченка. – К., 2004.

У дисертації з позицій другого методу Ляпунова розглядаються наступні основні задачі: задача про -стійкість для звичайних диференціальних і функціонально-диференціальних рівнянь з інтегрально неперервною по малому параметру правою частиною і задача про стійкість за Ляпуновим для диференціальних і функціонально-диференціальних рівнянь, а також для різницевих рівнянь із запізненням. Для рівнянь зазначених типів отримані нові достатні умови стійкості, асимптотичної стійкості і нестійкості, що допускають немонотонні уздовж розв’язків функції Ляпунова. У такий спосіб істотно розширюється клас придатних функцій і функціоналів Ляпунова. Це спрощує їхню побудову для конкретних рівнянь. Отримані результати застосовуються для вивчення впливу запізнення на умови виникнення параметричного резонансу в лінійній системі.

У дисертації розглянута задача про стійкість динамічного

процесу, що описується

звичайними диференціальними, функціонально-диференціальними рівняннями

або різницевими рівняннями із запізненням.

Другий метод Ляпунова є основним універсальним засобом

дослідження стійкості в таких задачах.

Однак практична побудова придатної функції чи функціонала Ляпунова

для конкретного рівняння може виявитися дуже складною.

У даній роботі на основі нових підходів запропоновані

достатні умови стійкості і нестійкості, що

допускають більш широкий клас придатних функцій і

функціоналів Ляпунова в порівнянні з відомими теоремами другого методу.

У такий спосіб удається полегшити дослідження стійкості

конкретних динамічних процесів.

Основні результати дисертації полягають у наступному.

Для звичайних диференціальних і функціонально-диференціальних рівнянь, що

містять малий параметр, введені поняття

-притягання й асимптотичної

-стійкості.

Отримано достатні умови -стійкості

для рівнянь

з інтегрально неперервною по параметру правою частиною.

Для звичайних диференціальних рівнянь знайдені достатні умови

-стійкості

з використанням скалярних і векторних функцій Ляпунова. Отримано достатні умови

-стійкості по частині змінних

для рівнянь з інтегрально неперервною по параметру правою частиною.

Отримано нові достатні умови рівномірної асимптотичної

стійкості й експоненціальної стійкості, що допускають

функції Ляпунова із знакозмінними похідними.

Запропоновано новий підхід у дослідженні стійкості за Ляпуновим для

функціонально-диференціальних рівнянь запізнюючого типу, що використовує

особливості поведінки траєкторій рівняння в нескінченновимірному просторі

станів.

На основі цього підходу отримані теореми про достатні умови

рівномірної асимптотичної стійкості і нестійкості нульового

розв’язку диференціального рівняння із запізненням, що допускають

використання знакозмінних і немонотонних уздовж розв’язків рівняння

функціоналів Ляпунова.

Ці результати використовуються для дослідження залежності від запізнення

умов виникнення параметричного резонансу в системі

лінійних рівнянь.

Показано, що шляхом зміни величини запізнення можна знищити

зони динамічної нестійкості і стабілізувати систему.

На основі нового підходу отримані достатні умови

асимптотичної -стійкості і

-нестійкості

диференціального рівняння із запізненням,

права частина якого інтегрально неперервна по параметру .

Отримано нові достатні умови асимптотичної стійкості і нестійкості нульового розв’язку різницевого рівняння із запізненням, запропонована нова схема обґрунтування принципу усереднення для різницевих рівнянь.

Публікації автора:

1. Анашкин О. В., Фалин А. И. Об устойчивости сложных систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Динамические системы. – К.: Вища школа, 1983. – Вып. 2. – C. 3 – 9.

2. Анашкин О. В., Хапаев М. М. Метод сравнения и исследование на устойчивость систем обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих возмущения // Дифференциальные уравнения. – 1986. – Т. 22, № 9. – C. 1604 – 1606.

3. Анашкин О. В., Хапаев М. М. Метод сравнения в исследовании на устойчивость систем обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих возмущения. II // Дифференциальные уравнения. – 1989. – Т. 25, № 2. – C. 167 – 192.

4. Анашкин О. В., Хапаев М. М. Метод функций Ляпунова для систем с возмущениями //Дифференциальные уравнения. – 1992. – Т. 28, № 12. – C. 2027 – 2029.

5. Анашкин О. В., Хапаев М. М. Об устойчивости нелинейных систем с малым параметром //Дифференциальные уравнения. – 1993. – Т. 29, № 8. – C. 1301 – 1307.

6. Анашкин О. В. О частичной устойчивости динамической системы, интегрально непрерывной по малому параметру // Динамические системы. – К.: Либідь, 1994. – Вып. 13. – C. 29 – 36.

7. Анашкин О. В., Хапаев М. М. О частичной устойчивости нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром // Дифференциальные уравнения. – 1995. – Т. 31, № 3. – C. 371 – 381.

8. Anashkin O. Generalized Lyapunov Functions and Stability Analysis in Critical Cases // Z. angew. Math. Mech. (ZAMM). – 1996. – Vol. 76, Suppl. 2. – P. 465 – 466.

9. Анашкин О. В. Метод усреднения в теории устойчивости функционально-дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. – 1997. – Т. 33, № 4. – C. 448 – 457.

10. Анашкин О. В. Параметрический резонанс в линейной системе с запаздыванием // Известия РАЕН, серия МММИУ. – 1997. – Т. 1, № 1. – C. 3 – 17.

11. Анашкин О. В. Об устойчивости систем функционально-дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр // Динамические системы. – Симферополь: Таврия, 1998. – Вып. 14. – C. 3 – 9.

12. Анашкин О. В. Достаточные условия устойчивости и неустойчивости для одного класса нелинейных функционально-дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. – 1998. – Т. 34, № 7. – C. 867 – 876.

13. Анашкин О. В. Об одном методе исследования на устойчивость в теории функционально-дифференцильных уравнений // Ученые записки СГУ. – 1998. – № 7(46). – C. 54 – 56.

14. Анашкин О. В. Об устойчивости систем функционально-дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр // Известия РАЕН, серия МММИУ. – 1998. – Т. 2, № 1. – C. 54 – 70.

15. Анашкин О. В., Евстигнеева Е. Г. О методе усреднения для одного класса разностных уравнений // Ученые записки СГУ. – 1998. – № 5 (44). – C. 45 – 50.

16. Anashkin O. Stability Theorems for Nonlinear Functional Differential Equations // Mathematical and Computer Modelling. – 1998. – Vol. 28, No. 2. – P. 25 – 35.

17. Anashkin O.V. On Stability of Functional Differential Equations, Containing a Small Parameter // Functional Differential Equations. – 1999. – Vol. 6, No. 1-2. – P. 5–17.

18. Анашкин О. В. О предельном переходе в сингулярно-возмущенной системе функционально-дифференциальных уравнений // Динамические системы. – Симферополь: Таврия, 2000. – Вып. 16. – C. 3–7.

19. Анашкин О. В. Функции Ляпунова в задаче об экспоненциальной устойчивости // Ученые записки ТНУ. – 2000. – № 13 (52). – С. 63–68.

20. Anashkin O. V. and Evstigneeva E. G. Some Remarks on Averaging for Difference Equations // Functional Differential Equations. – 2000. – V. 7, No. 1-2. – P. 29–38.

21. Анашкин О. В. Функционалы Ляпунова-Красовского в теории устойчивости дифференциальных уравнений с конечным запаздыванием // Ученые записки ТНУ, сер. матем., мех., информат. и кибернет. – 2001. – Т. 14, № 1. – С. 5–13.

22. Анашкин О. В. Про метод функцiоналiв Ляпунова-Красовського // Вiсник Киiвського унiверситету. Серiя: Фiзико-математичнi науки. – 2001. – № 2 – С. 208–213.

23. Анашкин О. В. Достаточные условия устойчивости для одного класса разностных уравнений // Динамические системы. – Симферополь: Таврия, 2001. – Вып. 17. – C. 46–52.

24. Anashkin O. V. Lyapunov's Direct Method and Parametric Resonance in Linear Systems with Delay // Fields Institute Communications. – 2001. – Vol. 29. – P. 11–18.

25. Анашкин О. В. Функции Ляпунова в теории устойчивости нелинейных разностных уравнений с запаздыванием // Дифференциальные уравнения. – 2002. – Т. 38, №7. – C. 976–978.

26. Анашкин О. В. О проблеме оптимальной стабилизации // 33 Inter. Wissenschaft. Kolloquium. – Heft 4, Vortragsreihen c1/c2. – Ilmenau: TH Ilmenau. Ilmenau (24–28.10.1988, GDR). – 1988. – P. 3–5.

27. Anashkin O. V. On Stability in Singularly Perturbed Nonlinear Systems // Proc. of Inter. Conf. "Dynamical systems and related topics" (3–7 September 1990, Nagoya, Japan), Adv. Ser. Dyn. Syst. – Vol. 9. – Singapore: World Scientific. – 1991. – P. 1–19.

28. Anashkin O. Stability and Bifurcation Analysis by Generalized Lyapunov Functions // Proc. Inter. Conf. on Dynamical Systems and Chaos (23–27 May 1994, Tokyo, Japan) / Eds. N. Aoki, K. .Shiraiwa and Y.Takahashi. – Vol. 1. – Singapore: World Scientific. – 1995. – P. 7 – 10.