Анотація до роботи:

Герасимчук В.Г. Розриви і коривання нарізно диференційовних функцій. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фiзико-математичних наук за спецiальнiстю 01.01.01 – математичний аналiз. – Львiвський нацiональний унiверситет iменi Iвана Франка, Львiв, 2009.

В дисертаційній роботі вивчається множини точок розриву і коливання нарізно диференційовних і подібних до них функцій. В ній за допомогою понять локальної ліпшицевості і точкової ліпшицевості, які охоплюють неперервну диференційовність і дииференційовність відповідно, з’ясовується малість множини точок розриву нарізно диференційовних і подібних до них функцій. А також охарактеризовано множини точок розривів і коливання нарізно неперервно диференційовних і нарізно локально ліпшицевих функцій двох змінних. В дисертаційній роботі вводиться нове поняття лакунарності множини, з допомогою якого охарактеризовано множини точок розриву нарізно диференційовних і нарізно точково ліпшицевих функцій. Крім того, вивчається множина точок розриву нарізно диференційовних функцій багатьох змінних і функцій, які неперервні чи диференційовні вздовж змінного репера.

В даній дисертаційній роботі одержано наступні результати.

Доведено, кожна -функція на добутку топологічного і метричного просторів має ніде не щільну множину точок розриву, якщо тільки цей добуток є берівським.

Для довільної -функції визначенної на добутку берівського і метричного просторів множина її точок розриву ніде не щільна на довільній неперервній кривій

Проекція паралельно до компакту множини точок розриву функції, яка неперервна відносно першої змінної і локально ліпшицева відносно другої є ніде не щільною

Для того, щоб множина була множиною точок розриву деякої нарізно неперервно диференційовна функції необхідно і досить, щоб вона була локально проективно ніде не щільною -множиною.

Для довільної напівнеперервної зверху невід’ємної функції, з локально проективно ніде не щільним носієм існує нарізно нескінченно диференційовна /нарізно локально ліпшицева/ -первісна.

Множина точок розриву довільної -функції є ніде не щільною.

Підмножина добутку метризовного берівського і повного метричного /скінченновимірного евклідового/ просторів буде множиною точок розриву деякої -функції /-функції/ тоді і тільки тоді, коли – навхрест ніде не щільна спадково десь вертикально лакунарна -множина.

Підмножина добутку двох повних метричних /скінченновимірних евклідових/ просторів буде множиною точок розриву деякої -функції /-функції/ тоді і тільки тоді, коли – навхрест ніде не щільна спадково десь лакунарна -множина.

Встановлено явище розмивання розривів по вертикалі у функцій, які квазінеперервні відносно першої змінної і ліпшицеві відносно другої

Нарізно точково ліпшицева функція багатьох змінних, що визначена на добутку сепарабельних берівських метричних просторів, має всюди щільну множину точок локальної ліпшицевості.

Встановлено ніде не щільність множини точок розриву і її розрізів гіперплощинами для функції багатьох змінних, що визначена на добутку берівського і скінченновимірного евклідового просторів, яка неперервна відносно першої змінної і диференційовна відносно кожної з решти змінних.

Отримано результат про ніде не щільність множини точок розриву на неперервній кривій для -функції.

Публікації автора:

1. Герасимчук В. Г. Різновиди ліпшицевості і множини точок розриву нарізно диференційовних функцій / В. Г. Герасимчук, В. К. Маслюченко , В. В. Михайлюк // Наук. вісн. Черн. ун-ту. Вип. 134. Математика. - Чернівці: Рута, 2002. - С.22-29.

2. Герасимчук В. Г. Розриви -функцій на квазінеперервних кривих / В. Г. Герасимчук // Наук. вісн. Черн. ун-ту. Вип. 191-192. Математика. - Чернівці: Рута, 2004. - С.36-40.

3. Герасимчук В. Г. До питання про розриви нарізно диференційовних функцій багатьох змінних / В. Г. Герасимчук, В. К. Маслюченко // Наук. вісн. Чернівецького ун-ту. Вип. 160. Математика. - Чернівці: Рута, 2003. - С.23-29.

4. Герасимчук В. Г. Характеризація множин точок розриву -функцій / В. Г. Герасимчук, В. К. Маслюченко , О. В. Маслюченко // Математичний вісник НТШ. - 2005. - 2. - С. 57-71.

5. Герасимчук В. Г. Про нарізно точково ліпшицеві функції / В. Г. Герасимчук , В. К. Маслюченко, О. В. Маслюченко // Математичні студії. - 2006. - 26, N1. - C.65-70.

6. Герасимчук В. Г. Нарізно неперервні функції відносно змінного репера / В. Г. Герасимчук, В. К. Маслюченко, О. В. Маслюченко // Укр. мат. журн. - 2004. - 56, №9. - С.1281-1286.

7. Герасимчук В. Г. Неперервність -функцій на неперервних кривих / В. Г. Герасимчук, О. В. Маслюченко // Наук. вісн. Чернівецького ун-ту. Вип. 288. Математика. - Чернівці: Рута, 2006. - С.38-40.

8. Герасимчук В. Г. Розриви нарізно диференційовних функцій / В. Г. Герасимчук, Маслюченко В.К. // Диф. рівняння і нелінійні коливання. Тези доповідей Міжнародної конференції. -К.: 2001. - С.35-36.

9. Герасимчук В. Г. Нарізно неперервні і диференційовні функції відносно змінного репера / В. Г. Герасимчук, В. К. Маслюченко, О. В. Маслюченко // Міжнар. конф. "Комплексний аналіз і його застосування". Львів, 26-29 травня, 2003. Тези доповідей. – Львів, 2003. – С.23-24.

10. Герасимчук В. Г. Розриви -функцiй на квазiнеперервних кривих / В. Г. Герасимчук // Мiжнар. конф. ”Комплексний аналiз та його застосування”.- Львiв, 2003.- С.22 - 23.

11. Герасимчук В. Г. Побудова нарiзно диференцiйовних функцiй з дискретною множиною точок розриву / В. Г. Герасимчук // Мiжнар. конф. “Шостi Боголюбовськi читання”. - К.: Iн-т математики НАН України, 2003.- С.46

12. Herasymchuk V. Sets of discontinuity of separately differentiable functions of n variables / V. Herasymchuk, V. Maslyuchenko // Intern. Conf. on Functional Analysis and its Appl. Dedicated to the 110-th anniversarty of S.Banach. May 28-31, 2002, Lviv. – P.83-84

13. Герасимчук В. Г. Про характеризацію множин точок розриву -функцій / В. Г. Герасимчук, В. К. Маслюченко, О. В. Маслюченко // Міжнар. конф. присвячена 125 річниці від дня народження Ганса Гана. Тези доповідей. 27 червня – 3 липня, 2004,Чернівці, Україна. – С.23-25.

14. Герасимчук В. Сукупна неперервність і ліпшицевість нарізно ліпшицевих функцій / В. Герасимчук , В. Маслюченко , О. Маслюченко // Міжнар. конф. пам’яті В.Я. Буняковського. (16 - 21 серпня, 2004 р.).Тези доповідей. - Київ: Ін-т математики НАН України, 2004. - С. 44-45.

15. Герасимчук В. Г. Сукупна неперервність -функцій на графіках неперервних функцій / В. Г. Герасимчук, О. В. Маслюченко // Міжнародна конференція “Математичний аналіз і суміжні питання”. Тези доповідей. - Львів,17-20 листопада, 2005. - С. 37-38.