Анотація до роботи:

Поперешняк С.В. Розподіли рангів слабко- та сильнозаповнених випадкових матриць у полі GF(2). - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.05 – теорія ймовірностей та математична статистика. – Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2007.

У дисертації досліджуються розподіли рангів слабко- та сильнозаповнених випадкових матриць над двоелементним полем. Знайдені оцінки швидкості зближення розподілу рангу слабкозаповненої випадкової матриці, утвореної необов’язково однаково розподіленими елементами, до розподілу Пуассона за різних припущень на відношення числа рядків матриці до числа її стовпців. Встановлені граничні () теореми про розподіл рангу слабкозаповненої випадкової матриці. Отримані оцінки ймовірності сумісності неоднорідної системи лінійних рівнянь з слабкозаповненою матрицею коефіцієнтів та випадковими вільними членами. Узагальнені відомі результати, що стосуються асимптотики () ймовірності сумісності зазначених систем рівнянь. Доведено теорему про граничний () розподіл рангу слабкозаповненої випадкової матриці за умов існування в ній фіксованої кількість нульових ліній, фіксованому значення різниці . На основі встановленої загальної теореми про граничний () розподіл рангу випадкової матриці за умов відсутності в ній одиничних ліній та фіксованому значенні різниці доведена теорема про граничний () розподіл рангу сильнозаповненої матриці, утвореної незалежними випадковими величинами, за умов відсутності в ній одиничних ліній та .

Дисертаційна робота присвячена встановленню розподілів рангів слабко- та сильнозаповнених випадкових матриць у полі розподіли елементів якої залежать від місць їх (елементів) розташування.

У першому розділі міститься огляд літератури за темою дисертації. У другому розділі досліджено розподіл рангу слабкозаповненої матриці при різних припущеннях на відношення числа рядків до числа стовпців та застосування отриманих результатів до оцінювання ймовірності сумісності деяких неоднорідних систем випадкових рівнянь у полі Знайдені оцінки швидкості зближення розподілу рангу слабкозаповненої випадкової матриці у полі до граничного () розподілу. Отримано граничний () розподіл рангу слабкозаповненої випадкової матриці у полі Знайдені оцінки ймовірності сумісності неоднорідної системи лінійних рівнянь з слабкозаповненою матрицею коефіцієнтів, та отримано граничне () значення ймовірності сумісності неоднорідної системи лінійних випадкових рівнянь у полі

Теорема про граничний () розподіл рангу слабкозаповненої випадкової матриці при умові, що різниця між числом рядків та числом стовпців є фіксоване число довільного знаку, і матриця має фіксовану кількість нульових ліній доведена в третьому розділі.

У заключному, четвертому, розділі встановлена загальна теорема про асимптотику розподілу рангу сильнозаповненої випадкової матриці у полі за умови відсутності одиничних ліній та у припущенні, що різниця між числом рядків та числом стовпців є фіксоване число довільного знаку, . За допомогою загальної теореми знайдено граничний розподіл рангу сильнозаповненої матриці, утвореної незалежними випадковими величинами з поля за умови відсутності одиничних ліній та при .

Усі отримані результати є новими і утворюють внесок в розвиток теорії слабко- та сильнозаповнених випадкових матриць у полі . Вони можуть знайти практичне використання, зокрема, при кодуванні інформації, захисту її від несанкціонованого доступу тощо.

Публікації автора:

1. Масол В.И., Поперешняк С.В. О распределении ранга случайной булевой матрицы вне области инвариантности И.Н. Коваленко // International Conference Modern Problems and New Trends in Probability Theory. Abstracts. Chernivtsi, June 19-26, 2005. – Vol. II. – P. 23-24.

2. Масол В.І., Поперешняк С.В. Розподіл рангу випадкової булевої розрідженої матриці і його застосування // Шевченківська весна: Матеріали Міжнародної науково-практичної конференції студентів, аспірантів та молодих вчених, присвяченої 15-й річниці незалежності України. Київ, 2-3 березня 2006. – Вип. IV: У 3-х част. – Ч.1. – C. 321-322.

3. Масол В.І., Поперешняк С.В. Про одне застосування граничного розподілу рангу випадкової розрідженої булевої матриці // International Conference Modern Stochastics: Theory and Applications. Conference Materials. Київ, 19-23 червня 2006. – C. 52-53.

4. V. Masol, S. Popereshnyak. Some properties of the distribution of the rank of a spase random matrix over a field GF(2) // 9th Vilnius Conference on Probab. Theory. Abstracts. Vilnius, June 25-30, 2006. – P. 228-229.

5. Масол В.И., Поперешняк С.В. Асимптотика распределения некоторых характеристик случайной булевой матрицы // Обозрение прикладной и промышленной математики. – Москва: ТВП. – 2006. –Т. 13, Вып.6. – С. 1032 -1033.

6. Masol V.I., Popereshnyak S.V. The asymptotic of the distribution of the rank of a random matrix over the field GF(2) // Skorokhod Space. 50 Years On. International conference. Abstracts. Kyiv, June 17-23, 2007. – Book 2, Sect. 7-8. – P. 126.

7. В.І. Масол, С.В. Поперешняк. Про сумісність одного класу лінійних випадкових булевих рівнянь // Вісник Київського університету. Серія фіз.-мат. – 2006. – №3. – C. 29-36.

8. Masol V.I., Popereshnyak S.V. Poisson estimates of distribution of the rank of a random matrix over the field GF(2) // Theory of Stochastic Processes. – 2006. – Vol. 12(28), №1-2. – P. 106-115.

9. Масол В.И., Поперешняк С.В. Граничний розподіл числа нетривіальних розв'язків системи лінійних випадкових булевих рівнянь з розрідженою матрицею коефіцієнтів // Прикладна статистика. Актуарна та фінансова математика: Наук. журнал/ Донецький нац. ун-т. – 2006.– № 1-2. – C. 111 – 126.