Анотація до роботи:

Мартиненко О.В. Режими із загостренням для нелінійних параболічних рівнянь, що вироджуються, із джерелом і неоднорідною щільністю - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. -- Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк 2008 р.

У дисертації вивчається задача Коші для параболічних рівнянь, що вироджуються, з неоднорідною щільністю й джерелом.

Для параболічних рівнянь із подвійною нелінійністю в головній частині, неоднорідною щільністю й степеневим джерелом (як однорідним, так і неоднорідним) уперше отримано умови існування й неіснування розв’язків глобально за часом. У випадку існування глобального розв’язку отримано точну оцінку поводження розв’язку для великих значень часу. Причому, для функції щільності, що досить швидко спадає на нескінченності, отримано універсальну (тобто незалежну від початкової функції) оцінку розв’язку. У випадку неіснування глобального за часом розв’язку отримано універсальну оцінку поблизу часу загострення у випадку однорідного джерела.

Встановлено локальну неперервність за Гельдером узагальнених розв’язків широкого класу нелінійних параболічних рівнянь із вимірними коефіцієнтами й неоднорідною щільністю.

У дисертаційній роботі розглянуто квазілінійне параболічне рівняння з неоднорідною щільністю й джерелом.

У розділі 2 встановлено локальну неперервність за Гельдером узагальнених розв’язків широкого класу нелінійних параболічних рівнянь із вимірними коефіцієнтами й неоднорідною щільністю, що задовольняють досить широким вимогам. Модельним представником такого класу є, зокрема, рівняння з подвійною нелінійністю й степеневою функцією щільності. Отриманий результат узагальнює класичні результати Е. Ді Бенедетто, М. Порціо й В. Веспрі з регулярності рівнянь, що вироджуються.

У розділі 3 досліджено задачу Коші для параболічного рівняння з подвійною нелінійністю, степеневою неоднорідною щільністю й неоднорідним джерелом. Уперше для таких рівнянь отримано умови глобального існування й неіснування за часом у термінах критичного показника типу Фуджити, який для таких рівнянь, взагалі кажучи, залежить від характеру виродження вагової функції. У випадку існування глобального розв’язку отримано точну оцінку поводження розв’язку при великих значеннях часу. Причому, для вагової функції, що досить швидко спадає на нескінченності, отримано універсальну (тобто незалежну від початкової функції) оцінку розв’язку.

У розділі 4 вивчено задачу Коші для параболічного рівняння з подвійною нелінійністю, степеневою неоднорідною щільністю й джерелом (однорідним), що істотно відрізняється від рівняння з неоднорідним джерелом, розглянутого в розділі 3, як властивостями, так і методами, що використовуються для дослідження. Тут, також було вперше отримано умови глобального за часом існування й неіснування розв’язків у термінах критичного показника типу Фуджити й точні оцінки поводження глобальних розв’язків для великих значень часу. У випадку неіснування глобального за часом розв’язку отримано універсальну оцінку поблизу часу загострення.

Публікації автора:

1. Мартыненко А.В. Задача Коши для квазилинейного параболического уравнения с источником и неоднородной плотностью / А.В. Мартыненко, А.Ф. Тедеев // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 2007. - Т. 47, № 2. - C. 245-255.

2. Мартыненко А.В. О поведении решений задачи Коши для вырождающегося параболического уравнения с неоднородной плотностью и источником / А.В. Мартыненко, А.Ф. Тедеев // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 2008. - Т. 48, № 7. - C. 1214-1229.

3. Мартыненко А.В. Регулярность решений вырождающихся параболических уравнений с неоднородной плотностью / А.В. Мартыненко, А.Ф. Тедеев // УMB - 2008. - Т. 5, № 1. - C. 116-145.

4. Мартыненко А.В. Оценка максимума решений задачи Коши для вырождающегося параболического уравнения с неоднородной плотностью и источником / А.В. Мартыненко // Труды ИПММ – 2008. – Т. 16, № 1. – с 136-151.

5. Мартыненко А.В. Режимы с обострением для квазилинейного параболического уравнения с источником и неоднородной плотностью / А.В. Мартыненко // Тези доповідей Всеукраїнської наукової конференції молодих вчених і студентів з диференціальних рівнянь та їх застосувань, присвяченої 100-річневому ювілею Я.Б. Лопатинського. - Донецьк, ДонНУ, 2006. - С. 87-88.

6. Martynenko A.V. A Fujita type result for a quasilinear parabolic equa\-tion with a source term and an inhomogeneous density / A.V. Martynenko // Book of abstracts. International conference «Nonlinear partial differential equations». - Yalta, September 10-15, 2007. - P. 44.