Анотація до роботи:

Карабаш І.М. Про подібність диференціальних операторів до самоспряжених. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. - Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 2005.

Дисертація присвячена подібності диференціальних операторів з індефінітною вагою самоспряженим або нормальним операторам. Отримано критерій подібності до самоспряженого для операторів (sgn x) p(-id/dx), де p — поліном парного степеня. Отримано критерій дефінізуємості для J-самоспряжених операторів, що є розширеннями симетричних операторів з однаковими скінченими індексами дефекту. Доведено, що оператор w(x)^–1 p(-id/dx) , де w(x) – ступінчаста функція без нулів, а p(t) дійсний поліном непарного степеня, є подібним до нормального лише у тривіальному випадку, коли w(x) приймає значення одного знаку. Отримано критерій подібності до самоспряженого оператора для індефінітного оператора Штурма-Ліувілля (sgn x)(-d²/dx²+q) у термінах інтегральної оцінки інтеграла Коші, а також нові умови подібності у термінах функції Вейля. Одержано необхідні та достатні умови на оператор Штурма-Ліувілля – d²/dx² +q із скінченнозонним потенціалом, за яких частина оператора (sgn x) ( – d²/dx² +q), що відповідає істотному спектру, є подібною до самоспряженого оператора. Досліджено жорданову структуру дискретної частини оператора (sgn x)(-d²/dx²+q) зі скінченнозонним потенціалом q. Наведено приклад недефінізуємого оператора (sgn x) (- d²/dx² +q), який є подібним до нормального оператора.

У дисертації отримано критерії подібності для трьох класів несамоспряжених диференціальних операторів.

1. Доведено, що оператор (sgn x) p( - i d/dx) у просторі L²(R), де p(z) = z²ⁿ+a_2n-1z^2n–1+…+a₀ - поліном з дійсними коефіцієнтами, є подібним до самоспряженого оператора, тоді і тільки тоді, коли поліном p невід'ємний. Отримано критерій дефінізуємості для J-самоспряжених операторів, що є розширеннями симетричних операторів з однаковими скінченими індексами дефекту. Доведено, що дефінізуємість оператора (sgn x) p( - i d/dx) еквівалентна невід'ємності полінома p.

2. Обчислено резольвенту оператора A = p( - i ) у просторі L²(R), де
   p(z) = z^m+a_m-1z^m–1+…+a₀ - поліном непарного ступеню з дійсними коефіцієнтами, а w(x) - дійснозначна ступінчаста зі скінченою кількістю значень без нулів. Доведено, що оператор A є подібним до нормального, тоді і тільки тоді, коли функція w(x) приймає значення тільки одного знака. Показано, що якщо функція w(x) - приймає значення обох знаків, то оператор A не є дефінізуємим у просторі Крейна L² (R,w(x)dx).

3. Для операторів вигляду A = (sgn x) L, де L - самоспряжений оператор Штурма-Ліувілля в L²(R), отримано критерій подібності самоспряженому оператору в термінах вагової оцінки інтеграла Коші (теорема 4.4), необхідну умову і достатню умову в термінах функцій Вейля. Доведено, що подібність оператора (sgn x)( -d²/dx + c) зі сталим потенціалом a самоспряженому еквівалентна невід'ємності числа c. Описано множину власних значень оператора A, обчислено їх алгебраїчну і геометричну кратності. У випадку, коли оператор A має скінчений дискретний спектр, отримано необхідну умову і достатню умову подібності самоспряженому оператору частини A_e оператора A, що відповідає істотному спектру. Для оператора Штурма-Ліувілля (sgn x) ( -d²/dx + q(x)) зі скінченнозонним потенціалом q отримано критерій подібності оператора A_e самоспряженому, доведено, що у цьому випадку оператор A має скінчену кількість власних значень, причому всі власні значення ізольовані, мають геометричну кратність 1 і скінчену алгебраїчну кратність. На прикладах операторів з однозонними потенціалами показано застосування результатів отриманих для скінченнозонних операторів. Доведено, що оператор (sgn x) ( -d²/dx + q(x)) зі скінченнозонним потенціалом є дефінізуємим, тоді і тільки тоді, коли множини у(L), у( -L) не мають спільних внутрішніх точок. Отримано приклад оператора вигляду (sgn x) ( -d²/dx + q(x)), який є недефінізуємим, але подібним до нормального оператора.

Основні результати дисертації опубліковано у працях:

1. Karabash I.M. J-selfadjoint ordinary differential operators similar to selfadjoint operators // Methods of Functional Analysis and Topology. - 2000. - Vol.6, N 2. - P.22-49.

2. Карабаш И.М. О J-самосопряженных дифференциальных операторах подобных самосопряженным // Мат. заметки. - 2000. - Т.68, N 6. - C.943-944.

3. Karabash I.M. On ordinary differential operators of an odd degree non-similar to normal operators // Methods of Functional Analysis and Topology - 2001. - Vol.7, N 1. - P.17-27.

4. Карабаш И.М. О подобии J-самосопряженных дифференциальных операторов нечетного порядка нормальным операторам // Мат. заметки. - 2002. - Т.71, N 3. - C.476-480.

5. Карабаш И.М., Маламуд М.М. О подобии J-самосопряженного оператора Штурма-Лиувилля с конечнозонным потенциалом самосопряженному // Доклады Академии наук. - 2004. - Т.395, N 3. - C.303-307.

6. Karabash I.M. The operator -(sgn x) d²/dx² is similar to a selfadjoint operator in L²(R) // Spectral and Evolution problems, Proc. of the Eighth Crimean Autumn Math. School-Symposium, Simferopol. - 1998. - Vol.8. - P.23-26.

7. Karabash I.M. On differential operators nonsimilar to selfadjoint ones // Spectral and Evolution problems, Proc. of the Ninth Crimean Autumn Math. School-Symposium, Simferopol. - 1999. - Vol.9. - P.145-150.

8. Karabash I.M. On differential operators of the first order nonsimilar to selfadjoint ones // Spectral and Evolution problems, Proc. of the Tenth Crimean Autumn Math. School-Symposium, Simferopol. - 2000. - Vol.10. - P.22-25.

9. Karabash I.M. On differential operators of an odd order nonsimilar to normal operators // Spectral and Evolution problems, Proc. of the Eleventh Crimean Autumn Math. School-Symposium, Simferopol. - 2001. - Vol.11. - P.34-38.

10. Карабаш И.М. О J-самосопряженных дифференциальных операторах подобных самосопряженным // Аналитические и численные методы в математике и механике, Труды XXII Конференции молодых учёных мех.-мат. факультета МГУ (17-22 апреля 2000г.). – 2001. - С. 67-69.

11. Karabash I.M. J-selfadjoint ordinary differential operators similar to selfadjoint operators // International Functional Analysis Meeting. – 2000. - p.67.

12. Karabash I.M. Similarity of J-selfadjoint differential operators to selfadjoint ones // 4th Workshop Operator Theory in Krein Space and Applications. – 2004.