Анотація до роботи:

Тишкевич Д.Л. Про ортогоналізацію систем векторів і розкладання типу Вольда у лінійних просторах з внутрішнім добутком. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 – математичний аналіз. – Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України, Харків, 2008.

Дисертація присвячена тематиці, зв'язаній з дослідженням окремих питань геометрії і теорії лінійних операторів у лінійних просторах з внутрішнім добутком. Досліджуються проблеми ортогоналізації систем векторів у лінійних просторах з індефінітним внутрішнім добутком. Отримано аналог розкладання Вольда напівунітарного оператору в довільному лінійному просторі з внутрішнім добутком. Отримано умови, при яких розкладання Вольда має властивості, схожі за властивостями з розкладанням Вольда у гільбертовому просторі. У випадку правильного рефлексивного банахова простору за допомогою розкладання Вольда дано опис проекційно повних підпросторів, що приводять напівунітарний оператор.

Також у дисертації узагальнюється метод дослідження лінійних операторів у просторах Крейна, здійснений за допомогою елементарних ротацій (операторів Жюліа), на довільні простори з індефінітним внутрішнім добутком. Доведено теорему про існування у будь-якого оператора з так званої категорії з квадратичним розщепленням елементарної ротації з тієї ж категорії. На підставі вивчення властивостей елементарної ротації неперервного оператору у лінійних просторах з внутрішнім добутком дано опис структури всіх максимальних підпросторів, що приводять даний оператор, та індукують унітарний оператор.

Таким чином, в дисертаційній роботі проаналізовано геометричні властивості загальних лінійних просторів з індефінітним внутрішнім добутком та властивості лінійних неперервних операторів, діючих у цих просторах. Зокрема, отримано наступні результати.

1. Доведено теорему про існування конструктивного процесу ортогоналізації зліченої лінійно незалежної системи векторів спеціального виду. Дано застосування цієї теореми до проблеми ортогоналізації мономів у лебегівських просторах зо знакозмінною ваговою функцією.

2. Уведено визначення матричної категорії, матричної категорії зі спряженням і категорії з квадратичним розщепленням. Показано, що різні класи лінійних просторів з внутрішнім добутком і лінійних операторів у них складають категорії вказаного типу, до яких належить і категорія просторів Крейна.

3. Доведено теорему про існування у будь-якого оператора з категорії з квадратичним розщепленням елементарної ротації з тієї ж категорії. Даний результат застосовується при дослідженні максимальних підпросторів, що приводять оператор та індукують унітарний оператор.

4. Отримано аналог розкладання Вольда напівунітарного оператора в довільному просторі з внутрішнім добутком. У випадку правильного рефлексивного банахова простору отримано критерій існування розкладання Вольда напівунітарного оператора в термінах проекційно повних підпросторів зсуву і остаточного підпростору; описано необхідні та достатні умови відтворюваністі векторів по їх коефіцієнтах Фур’є.

5. У випадку правильного рефлексивного банахова простору дано опис проекційно повних підпросторів, що приводять напівунітарний оператор.

6. Описано структуру всіх максимальних підпросторів, що приводять неперервний лінійний оператор у просторі з внутрішнім добутком та індукують унітарний оператор. Докладно вивчена структура цих підпросторів для операторів спеціального виду.

Отримані результати суттєво розвивають відомі методи дослідження просторів Крейна та лінійних операторів, діючих у них. Ці результати можуть бути застосовані при побудові теорії дилатацій та характеристичних функцій, теорії моделей лінійних операторів, теорії лінійних систем у випадку загальних просторів з індефінітним внутрішнім добутком.

Публікації автора:

1. Тышкевич Д.Л. О классах сопрягаемых операторов в общих пространствах с индефинитной метрикой // Учёные записки Таврического национального университета им. В.И Вернадского, серия «Математика. Механика. Информатика и кибернетика». – 2002. – Т. 15(54), №2. – С. 95 – 98

2. Тышкевич Д.Л. О биподобии в регулярном - пространстве (полу)унитарного оператора гильбертово (полу)унитарному // Таврический Вестник Информатики и Математики (ТВИМ). – 2002. – Вып. 1. – С. 85 – 98

3. Тышкевич Д.Л. Неорторасширяемые подпространства в пространствах с индефинитной метрикой // Учёные записки Таврического национального университета им. В.И Вернадского, серия «Математика. Механика. Информатика и кибернетика». – 2003. – Т. 16(55), №2. – С. 88 – 98

4. Тышкевич Д.Л. Элементарные ротации операторов в категориях с квадратичным расщеплением // Таврический Вестник Информатики и Математики (ТВИМ). – 2004. – Вып. 1. – С. 112 – 124

5. Тышкевич Д.Л. Устойчивые состояния в комплексных линейных пространствах // Таврический Вестник Информатики и Математики (ТВИМ). – 2004. – Вып. 2. – С. 113 – 127

6. Тышкевич Д.Л. Об одном классе максимальных инвариантных подпространств непрерывного оператора в пространстве с индефинитной метрикой // Учёные записки Таврического национального университета им. В.И Вернадского, серия «Математика. Механика. Информатика и кибернетика». – 2004. – Т. 17(56), №1. – С. 95 – 122

7. Тышкевич Д.Л. О разложимости линеалов и подпространств в пространствах с индефинитной пространствах // Таврический Вестник Информатики и Математики (ТВИМ). – 2005. – Вып. 2. – С. 79 – 101

8. Тышкевич Д.Л. Об ортогонализации счётной системы векторов в пространстве с индефинитной метрикой // Учёные записки Таврического национального университета им. В.И Вернадского, серия «Математика. Механика. Информатика и кибернетика». – 2005. – Т.18 (57), №1. – С. 105– 127

9. Тышкевич Д.Л. О разложении Вольда полуунитарного оператора в банаховых пространствах с индефинитной метрикой // Учёные записки Таврического национального университета им. В.И Вернадского, серия «Математика. Механика. Информатика и кибернетика». – 2006. – Т.19 (58), №1. – С. 98 – 124

Тези доповідей на конференціях:

1. Tyshkevich D.L. On some categories in indefinite inner product spaces theory // Сборник докладов I летней школы по топологической алгебре и функциональному анализу, 22-31 июля 2003 г., Львов-Козева. – Козева. – 2003. – P. 39 – 40

2. Тышкевич Д.Л. Ступенчато невырожденные системы и топологическая разложимость сепарабельных пространств с индефинитной метрикой // Тезисы докладов международной конференции, посв. 125-летию Г. Хана, 27 июня – 3 июля 2004 г., Черновцы. – 2004. – С. 110 – 111

3. Тышкевич Д.Л. Элементарные ротации операторов в правильных банаховых пространствах // Сборник тезисов международной конференции, посв. 103-летию И.Г. Петровского (XXI совместное заседание Московского математического общества и семинара им. И.Г. Петровского), 16-22 мая 2004 г., Москва. – 2004. – С. 229 – 230

4. Tyshkevich D.L. Generalized quadratic forms and robust states in complex linear spaces // Book of abstracts, Satellite conference of the European Congress of Mathematics Operator Theory and Applications in Mathematical Physics OTAMP 2004, July 6-11, 2004, Bedlewo Mathematical Conference Center, Poland, Bedlewo. – 2004. – P. 33

5. Тышкевич Д.Л. Об ортогонализации счетных систем векторов в общих пространствах с индефинитной метрикой. // Сборник тезисов международной конференции, посв. 100-летию С.М. Никольского, 23-39 мая 2005 г., Москва. – 2005. – С. 229

6. Tyshkevich D.L. On Wold decomposition of a semiunitary operator on a reflexive regular Banach spaces // Book of abstracts, The Banach Center Conference Analysis & Partial Differential Equations (In honor of Professor Bogdan Bojarski), June 18-24, 2006, Mathematical Research and Conference Center, Poland, Bedlewo. – 2006. P. 40

Основні наукові результати роботи опубліковані в 7 фахових наукових виданнях з переліку ВАК України (посилання 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9 переліку публікацій). Вони в повній мірі відбивають основні результати дисертації.