Анотація до роботи:

Кужель С.О. Про елементи схеми Лакса--Фiллiпса в теорii розсiяння. - Рукопис.

Дисертацiя на здобуття наукового ступеня доктора фiзико-математичних наук за спецiальнiстю 01.01.01 -- математичний аналiз. - Iнститут математики НАН України, Київ, 2002.

Дисертацiя присвячена узагальненню основних положень схеми розсiяння Лакса-Фiллiпса на випадок просторiв з iндефiнiтною метрикою (просторiв Понтрягiна) та розвитковi елементiв схеми Лакса-Фiллiпса для абстрактної реалiзацiї хвильового рiвняння utt=-Lu, де L - самоспряжений оператор в довiльному гiльбертовому просторi. Знайдено необхiднi i достатнi умови на оператор L, за яких група розв'язкiв задачи Кошi для цього рiвняння визначає вiльну та збурену еволюцiї в розумiннi Лакса--Фiллiпса, описано вiдповiднi вхiдний та вихiдний пiдпростори. Запропоновано новий операторний метод побудови матрицi розсiяння, дослiджено обернену задачу. Отриманi абстрактнi результати застосованi до вивчення однорiдних вiдносно групи масштабних перетво-рень сингулярних збурень оператора Лапласа та деяких класiв нелокальних збурень радiального рiвняння Шредiнгера.

У роботi отриманi такi новi результати:

1. У випадку просторiв Понтрягiна одержано аналог всiх основних результатiв абстрактної схеми розсiяння Лакса-Фiллiпса.

2. Показано, що iснування для групи розв'язкiв WL(t) задачi Кошi для рiвняння utt=-Lu пiдпросторiв D± з властивостями класичних вхiдного та вихiдного пiдпросторiв для вiльного хвильового рiвняння utt=Du у просторi непарної розмiрностi, еквiвалентне належностi оператора L до спецiального класу MB незбурених операторiв, якi є природним узагальненням вiльного Лапласiана -D. Знайдено рiзноманiтнi описи незбурених операторiв i показано, що з точки зору пiдходу Лакса--Фiллiпса рiвняння utt=-Lu з довiльним незбуреним оператором L у правiй частинi визначає вiльну еволюцiю (однiєю з можливих реалiзацiй цiєї еволюцiї є класичнe вiльнe хвильовe рiвняння utt=Du).

3. Дано означення класу YB збурених операторiв i показано, що належнiсть оператора Е до цього класу еквiвалентна тому, що вiдповiдна група розв'язкiв WЕ(t) рiвняння utt=-Еu визначає збурену еволюцiю у розумiннi теорiї Лакса--Фiллiпса. Охарактеризо-ване мiсце подiбних еволюцiй у рамках теорiї унiтарних ортогональних зчеплень.

4. Дослiджено залежнiсть матрицi розсiяння для збуреної групи WЕ(t) вiд вибору незбуреної еволюцiї.

5. Використовуючи явнi формули для пiдпросторiв D± та зв'язок мiж матрицею розсiяння у схемi Лакса--Фiллiпса i характеристичною функцiєю деякого стискуючого оператора, запропоно-вано просте зображення в термiнах позитивних просторiв граничних значень аналiтичного продов-ження у нижню пiвплощину матрицi розсiяння (матрицi розсiяння Гейзенберга) для збуреної групи WЕ(t). На основi цiєї формули знайденоновi характеристики точок сингулярностi матрицi розсiяння i дослiджено обернену задачу розсiяння. Зокрема, спираючись на результати М.А. Наймарка та А.В. Штрауса, з'ясовано можливiсть вiдновлення збуреного оператора Е за вiдомою матрицею розсiяння Гейзенберга та показано, що вiдсутнiсть сингулярностей у матрицi розсiяння еквiвалентна випадку незбуреної еволюцiї.

6. Отриманi у попереднiх пунктах результати застосовано до вивчення модельних операторiв, що описують однорiднi вiдносно групи масштабних перетворень в L2(R3) сингулярнi збурення оператора Лапласа. Так, показано, що за рахунок пiдбору модельного оператора, можнa одержати матрицю розсiяння з довiльною, наперед заданою замкненою множиною сингулярностей на уявнiй пiвосi.

7. Видiлено клас нелокальних збурень радiального рiвняння Шредiнгера, якi можуть бути дослiдженi у рамках схеми Лакса-Фiллiпса, i вивчено структуру вiдповiдних матриць розсiяння.