Анотація до роботи:

Босікова І.І. Прямі методи розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь з l-матрицями. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.07 – обчислювальна математика. – Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2002.

У дисертаційній роботі розглядаються СЛАР з l-матрицями. Розроблено алгоритми розв'язування СЛАР з l-матрицями тригонометричних поліномів, які є модефікаціями прямих числових методів лінійної алгебри, що ґрунтуються на неунітарних перетвореннях. Розроблено схему зведення СЛАР з l-матрицями з тригонометричними поліномами та поліномами від багатьох змінних до систем з числовими коефіцієнтами. Побудовано алгоритм схеми розрізання для розв'язування отриманих систем з числовими коефіцієнтами. Запропонований метод розв'язування задач параметричного програмування з лінійною та дробово-лінійною цільовими функціями, основу якого становить використання теорії СЛАР з l-матрицями.

Одержані в роботі результати є важливими для теорії СЛАР з l-матрицями та задач параметричного програмування. Вони також можуть бути застосовані в теорії результантів, при розв'язуванні систем поліноміально-лінійних рівнянь методами матричної лінеарізації, при дослідженні проблеми малого знаменника в некласичних задачах теорії диференціальних рівнянь, при розв'язуванні задач механіки.

Основні результати виконаної роботи:

1. Запропоновано і обгрунтовано алгоритми розв'язування СЛАР з l-матрицями, елементами яких є тригонометричні поліноми. Розроблені алгоритми модифікують прямі числові методи лінійної алгебри, що ґрунтуються на неунітарних перетвореннях.

2. Доведено, що для алгоритмів розв'язування СЛАР з l-матрицями з тригонометричними поліномами, які базуються на неунітарних перетвореннях, мінори, що знаходяться на головній діагоналі є дільниками мінорів на порядок вищих. Одержаний результат дозволяє уникати зростання степеня елементів шляхом їх скорочення на спільний дільник.

3. Розроблено схему зведення СЛАР, коефіцієнтами яких є тригонометричні поліноми степеня l, до систем з числовими коефіцієнтами. Для розв'язування отриманих систем з числовими коефіцієнтами розроблено ефективні алгоритми схеми розрізання та її прискореної версії.

4. Для усіх побудованих алгоритмів виконано аналіз похибок заокруглення.

5. На основі скінченно-різницевого підходу отримано рекурентні формули для обчислення елементів l-матриці від двох змінних, які є поліномами степеня m, що залежать від рівновіддалених координат точок заданої прямокутної області. За допомогою одержаних рекурентних співвідношень розроблено метод розв'язування СЛАР, l-матриці яких задовольняють відзначені вимоги. Встановлено, що для отримання розв'язку системи немає необхідності обчислювати елементи матриці , достатньо знайти коефіцієнти при різницях D^k, що значно зменшує об’єм обчислень.

6. Розроблено схему зведення СЛАР з l-матрицями з поліномами від багатьох змінних до систем з числовими коефіцієнтами. Для розв'язування отриманих систем з числовими коефіцієнтами розроблено алгоритм схеми розрізання та одержано оцінку його складності.

7. Запропонований новий підхід до розв'язування задач параметричного програмування з лінійною та дробово-лінійною цільовими функціями, основу якого становить використання теорії СЛАР з l-матрицями. Проведені дослідження показують, що він дозволяє розв’язувати задачі, як з лінійною залежністю від параметра так і ті, в яких залежність від параметра не є лінійною.

8. Теоретичне обгрунтування розроблених методів підтверджується числовими та експериментальними прикладами для модельних та прикладних задач. Отримані числові результати порівнювались з результатами, одержаними іншими методами. В ряді випадків встановлено їх переваги порівняно з відомими процедурами популярних математичних пакетів Maple та Mathematica.

Публікації автора:

1. Босікова І.І. Розв’язання задач параметричного програмування з застосуванням систем алгебраїчних рівнянь з l-матрицями: Зб наукових праць. – Київ: Ін-т кібернетики ім. В.М.Глушкова, 1999. – С. 56-60.

2. Босікова І.І. Деякі властивості матриць тригонометричних поліномів // Вісник Львівського університету. Серія прикладна математика та інформатика. – 2000. – Випуск 2. – С.16-25.

3. Босикова И.И., Недашковский Н.А. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений с комплексными l- матрицами // Кибернетика и системный анализ. – 2000. – № 2. – С. 144-156.

4. Босікова І.І. Аналіз похибок заокруглення схеми розрізання для систем лінійних алгебраїчних рівнянь з l-матрицями // Вісник Запорізького державного університету. – 2000. – №2. – С. 11-19.

5. Босикова И.И. Решение систем линейних алгебраических уравнений с двумерными l-матрицами // Кибернетика и системный анализ. – 2001. – № 4. – С. 175-179.

6. Босикова И.И. Метод решения систем линейных алгебраических уравнений с m-мерными l-матрицами // Кибернетика и системный анализ. – 2002. – № 1. – С. 37-47.

7. Босікова І.І. Розв'язування задач параметричного програмування з застосуванням систем лінійних алгебраїчних рівнянь з l-матрицями // Матеріали VII-ої Міжнародної наукової конференції ім. академіка М.Кравчука (14-16 травня 1998р., Київ)/ К.: НТУУ(КПІ). – 1998. – С.65.

8. Босікова І.І. Скінченно-різницеві підходи до розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь з двовимірними l-матрицями // Матеріали VIІI-ої Міжнародної наукової конференції ім. академіка М.Кравчука (1-14 травня 2000р., Київ)/ К.: НТУУ(КПІ). – 2000. – С.245.

9. Босикова И.И. Системы линейных алгебраических уравнений с комплексными элементами и их решение прямыми методами // Тезисы докладов VIII-ой Белорусской математической конференции (19-24 июня 2000г., Минск)/ Минск. – 2000. – Ч. 3. – С. 9.

10. Босікова І.І. Розв’язання задач параметричного програмування з дробовою цільовою функцією із застосуванням систем лінійних алгебраїчних рівнянь з l-матрицями // Матеріали Міжнародної конференції “Моделювання та оптимізація складних систем” (25-28 січня 2001р., Київ). – Київ: Видавничо-поліграфічний центр “Київський університет”. – 2001. – Т. 1. – С.16-17.

11. Босікова І.І. Метод розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь з багатовимірними l- матрицями// Матеріали ІХ-ої Міжнародної наукової конференції ім. академіка М.Кравчука (16-19 травня 2002р., Київ)/ К.: НТУУ(КПІ). – 2002. – С.230.