Анотація до роботи:

Вус А.Я. Потенціали взаємодії інтегровних за Ліувіллем багаточастинкових систем на прямій. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 – математичний аналіз. – Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2002.

У дисертації досліджується інтегровність за Ліувіллем гамільтонових динамічних систем для випадку багаточастинкових систем на прямій з різними типами взаємодії. В роботі встановлено зв'язок між існуванням додаткових поліноміальних за імпульсами перших інтегралів та диференціально-функціональними рівняннями для невідомих потенціалів взаємодії. Досліджено класи мероморфних потенціалів взаємодії, що допускають існування додаткових поліноміальних перших інтегралів, та дано вичерпний опис інтегровних гамільтонових систем вказаного вигляду.

В дисертації дано вирішення проблеми інтегровності за Ліувіллем гамільтонових систем взаємодіючих n тіл на прямій з різними типами взаємодії, що володіють додатковими поліноміальними за імпульсами першими інтегралами. Методи, які застосовуються при дослідженні питання про існування інтегралів руху (зокрема, знаходження повного інволютивного набору інтегралів), визначаються вибором того чи іншого функціонального класу, в якому шукаються ці інтеграли. Основні результати дисертації істотно розширюють і доповнюють відомі результати стосовно інтегровності багаточастинкових задач на прямій з додатковими поліноміальними за імпульсами першими інтегралами. У дисертаційній роботі вперше:

встановлено зв'язок між існуванням додаткових поліноміальних за імпульсами перших інтегралів та диференціально-функціональними рівняннями на невідомі потенціали взаємодії;

одержано опис можливих особливих точок інтегровних потенціалів взаємодії як розв'язків теорем додавання;

повністю розглянуто проблему інтегровності за Ліувіллем багаточастинкових задач з мероморфними періодичними потенціалами взаємодії;

заперечено можливість існування нових інтегровних за Ліувіллем багаточастинкових систем з раціональними потенціалами, відмінних від відомих на даний час.

Результати роботи мають теоретичний характер. Вони можуть стати джерелом нових задач в теорії інтегровних натуральних систем. Їх можна використати при подальших дослідженнях інтегровних за Ліувіллем гамільтонових динамічних систем з додатковими поліноміальними за імпульсами першими інтегралами, а також в конкретних багаточастинкових системах, моделями яких є розглянуті в дисертації задачі.

Публікації автора:

1. Вус А.Я. Інтегровні системи взаємодіючих точок на прямій // Вісник Львівського ун-ту. – 1996. – вип. 45. – С. 140–145.

2. Вус А.Я. Про перші інтеграли натуральних систем, близьких до більярдних // Доповіді НАН України. – 1997. – №3. – С. 38–40.

3. Vus A. Ya. On integrable three-body problems on the line // Matematychni Studii. – 1998. – v. 10, № 1. – Р. 97–102.

4. Vus A. Ya. Integrable Polynomial Potentials in N-body Problems on the Line // Proceedings of Fours International Conference “Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics” ( 9-15 July, 2001, Kyiv), Proceedings of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine, – Kyiv, 2002. – V. 43, Part 2. – P. 765–767.

5. Вус А.Я. Про перші інтеграли натуральних систем // Матеріали V Міжнародної конференції імені академіка М. Кравчука, – Київ: Ін-т математики НАН України. –1995. – С. 64.

6. Вус А.Я., Підкуйко С.І. Інтегровні системи взаємодії трьох точок на прямій // Матеріали VI Міжнародної конференції імені академіка М. Кравчука. – Київ: Ін-т математики НАН України. – 1996. – С. 80.

7. Vus A. Ya. Integrable potentials in N-body problem on the line // Proceedings of International Conference “Nonlinear Partial Differential Equations”, Lviv, August 23-29, 1999. – Р. 213.

8. Vus A. Ya. The Liouville Integrability of N-body problem on the Line // Proceedings of the International Conference “Functional Analysis and its Applications” ( 28-31 May, 2002, Lviv, Ukraine), Lviv Ivan Franko National University, 2002. – Р. 214–215.