Анотація до роботи:

Мазуренко Н. І. Поглинаючі системи в гіперпросторах, пов’язані з виміром Гаусдорфа.– Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.04 – геометрія і топологія. – Харківський національний університет імені В. Н. Каразіна, Харків, 2006.

Дисертація присвячена дослідженню топології гіперпросторів компактів заданого виміру Гаусдорфа. Якщо – метричний компакт, у гіперпросторі природно виникає система підмножин , де множина всіх компактів в з властивістю . У 90-х роках минулого століття було розвинено потужну техніку поглинаючих систем, яку зразу ж було застосовано до опису топологічного типу систем гіперпросторів, пов’язаних з поняттям лебегового виміру. Застосування тут знайшли лише поглинаючі системи, індексовані підмножинами множини натуральних чисел. На відміну від топологічного виміру, вимір Гаусдорфа, маючи неперервну шкалу значень, дозволяє розглядати складніші системи множин, які, зокрема, можуть бути індексовані незліченними множинами.

У дисертації автором описано топологію систем множин компактів (континуумів) заданого виміру Гаусдорфа у гіперпросторі скінченновимірного куба , індексованих зліченними множинами деякого класу , що містить, зокрема, цілком впорядковані множини, множини з порожньою скінченною похідною та множини, порядково ізоморфні множині раціональних чисел. Ці результати поширено на випадок гіперпростору області в та -вимірного компактного зв’язного ріманового многовиду. Доведено, що система таких множин у гіперпросторі скінченновимірного куба , індексована множиною , є -поглинаючою системою. У гіперпросторі гільбертового куба , описано топологію частково впорядкованої системи множин компактів із одночасно заданими вимірами Гаусдорфа та Лебега. Результати теорії поглинаючих систем у -многовидах у дисертації застосовано, також, для опису топології послідовності множин функцій, означених на скінченновимірному кубі, графіки яких мають заданий вимір Гаусдорфа.

Результати дисертації мають теоретичний характер і можуть бути використані в топології нескінченновимірних многовидів, теорії виміру, фрактальній геометрії, теорії функцій.

У дисертації вперше в теорії виміру одержується застосування теорії нескінченних поглинаючих систем, індексованих множинами, складнішими, ніж множина натуральних чисел, навіть і незліченними. Основні результати дисертації доповнюють вже відомі результати про топологічну будову гіперпросторів, одержані в теорії виміру.

У дисертації отримано такі результати:

– описано зліченну -поглинаючу систему у гільбертовому кубі, яка може бути модельною для зліченних -поглинаючих систем довільного впорядкування;

– описано -поглинаючу систему у гільбертовому кубі, яка може бути модельною для зліченної, частково впорядкованої -поглинаючої системи;

– описано борелівський тип гіперпростору компактів, вимір Гаусдорфа яких не перевищує довільного, наперед заданого, дійсного додатнього числа;

– для (відп. , ) описано топологію системи (відп. ) гіперпросторів компактів (континуумів) заданого виміру Гаусдорфа у просторі (відп. ), де – довільна зліченна підмножина множини (відп. ) з класу зліченних множин (тут – клас зліченних множин, який складається з цілком впорядкованих множин, множин, скінченна похідна яких дорівнює , та множин, порядково ізоморфних множині раціональних чисел ), для простору , – області в та – зв'язного -вимірного компактного ріманового многовиду;

– доведено, що система (відп. ) є -поглинаючою у просторі (відп. ) у випадку – незліченної множини, а саме, коли () для (відп. );

– для (відп. ) описано топологію пари (відп. ), для простору , – області в та – зв'язного -вимірного компактного ріманового многовиду;

– описано топологію зліченної частково впорядкованої системи гіперпросторів компактів заданого виміру Лебега і виміру Гаусдорфа у гільбертовому кубі, де вимір Лебега пробігає множину невід'ємних цілих чисел, а вимір Гаусдорфа – довільну зліченну, впорядковану за типом , підмножину в ;

– описано топологію зліченної, впорядкованої за типом , системи просторів функцій, означених на , графіки яких мають заданий вимір Гаусдорфа.

Результати роботи мають теоретичний характер і можуть бути використані в топології нескінченновимірних многовидів, теорії виміру, фрактальній геометрії, теорії функцій.

Публікації автора:

1. Мазуренко Н. Топологія гіперпросторів континуумів заданого виміру Гаусдорфа в скінченновимірному кубі//Наук. Вісник Чернівецького унів. – Математика. – 2004. – Вип. 228. – С. 60 – 65.

2. Мазуренко Н. Поглинаючі системи у функціональному просторі, пов'язані з виміром Гаусдорфа//Математичні Студії. – 2005. – Т. 23, № 2. – С. 207 – 216.

3. Mazurenko N. Absorbing sets related to Hausdorff dimension//Visnyk Lviv Univ. Ser. Mech-Math. – 2003. – Vol.61. – P.121-128.

4. Mazurenko N. Absorbing systems in the Hilbert cube related to Hausdorff and covering dimension// Мат. методи та фіз.-мех. поля – 2004. – Том 47, № 4. – C.18-26.

5. Mazurenko N. Absorbing systems in hyperspaces and function spaces related to Hausdorff dimension//Тези допов. міжнар. конф. "Комплексний аналіз і його застосування". – Львів. – 2003. – C.46.

6. Mazurenko N. Absorbing systems in hyperspaces of continua related to the Hausdorff dimension// Тези допов. ІІІ Всеукр. наук. конф. "Нелінійні проблеми аналізу". – Івано-Франківськ. – 2003. – C.122.

7. Mazurenko N. Absorbing systems in the Hilbert cube related to Hausdorff and covering dimension// Proc. International Conf. "Geometric Topology: Infinite-Dimensional Topology, Absolute Extensors, Applications". – Lviv (Ukraine). – 2004. – P. 43–44.

8. Mel'nychuk N. Absorbing systems related to Hausdorff dimension//Proc. International Conf. on Functional Analysis and its Applications. – Lviv (Ukraine) – 2002. – P. 137–138.