Анотація до роботи:

Демків Л.І. “Оцінки точності різницевих схем з урахуванням початково-крайового ефекту”. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.07 – обчислювальна математика. Інститут математики НАН України, Київ, 2006.

В дисертації розглянуто початково-крайові задачі для лінійних та квазілінійних одно- та двовимірних рівнянь параболічного типу зі сталими коефіцієнтами, а також задачу Діріхле для двовимірних квазілінійних рівнянь еліптичного типу зі змінними коефіцієнтами і мішаними похідними.

Одержано нові вагові апріорні оцінки точності різницевих схем, що апроксимують згадані задачі, з врахуванням початково-крайового ефекту. Методика базується на вагових оцінках різницевих функцій Гріна, які є більш точними в порівнянні з відомими.

Запропоновано два підходи до одержання вагових апріорних оцінок точності різницевих схем у випадку крайових умов третього роду, що базуються на традиційних різницевих схемах та модифікованих.

Оскільки в дисертації не використовуються "екзотичні" різницеві схеми, а лише традиційні та їх модифікації, то одержані результати можуть бути використані при розв'язуванні широкого класу практичних задач, які виникають в гідродинаміці, механіці, електродинаміці тощо.

1. Для одно- та двовимірних лінійних та квазілінійних рівнянь параболічного типу зі сталими коефіцієнтами і умовами Діріхле знайдено вагові апріорні оцінки, які враховують початково-крайовий ефект.

2. Для задачі Діріхле для квазілінійного еліптичного рівняння зі змінними коефіцієнтами і мішаними похідними у прямокутнику знайдено вагові оцінки точності відповідної різницевої схеми, які враховують крайовий ефект. При цьому були використані оригінальні оцінки різницевої функції Гріна.

3. Для всіх вагових апріорних оцінок, що враховують початково-крайовий ефект, у випадку умов Діріхле в термінах гладкості вхідних даних знайдені достатні умови, які гарантують справедливість цих оцінок.

4. Для звичайного диференціального рівняння другого порядку з крайовими умовами третього роду знайдені вагові апріорні оцінки точності модифікованої різницевої схеми (через перехід до системи рівнянь першого порядку), що враховують крайовий ефект як для розв’язку, так і для його похідної. Показано, що використання традиційної різницевої схеми для одержання відповідних вагових апріорних оцінок накладає більш жорсткі умови на гладкість розв’язку вихідної диференціальної задачі.

5. Проведено ряд чисельних експериментів, що підтверджують теоретичні результати.

Публікації автора:

1. Макаров В.Л., Демків Л.І. Оцінки точності різницевих схем для параболічних рівнянь, що враховують початково-крайовий ефект // Доповіді НАН України.-2003.-№2.-С.26-32.

2. Makarov V.L., Demkiv L.I. Accuracy estimates of the difference schemes for quasi--linear parabolic equations taking into account the initial-boundary effect // Comput. Methods Appl. Math. –2003. –Vol.3, №.4. –P.579-595.

3. Makarov V.L., Demkiv L.I., Accuracy estimates of difference schemes for quasi-linear elliptic equations with variable coefficients taking into account boundary effect // Lect. notes Comput. Sc. – 2005, vol.3401. –P. 80 – 90

4. Makarov V., Demkiv L. Taking into account the third kind conditions in weight estimates for difference schemes // Lect. notes Comput. Sc. –2006. –Vol.3743. –P.687 - 694.

5. Makarov V., Demkiv L. Estimates of accurancy of difference schemes for ordinary differential equations with third kind boundary conditions// Softtrade. – 2006. – P. 139 – 145.

6. Mакаров В.Л., Демків Л.І. Оцінки точності різницевих схем для параболічних рівнянь з врахуванням початково-крайового ефекту // Міжнар. конф. ”Обчислювальна математика і математичні проблеми механіки”.–Дрогобич:Дрогобицький держ. пед. ун-т. ім. Івана Франка, 2001. – С.9 – 10.

7. Mакаров В., Демків Л. Оцінки точності традиційних різницевих схем для квазілінійних параболічних рівнянь, що враховують початково-крайовий ефект // Всеукр. конф. ``Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики”. –Львів:Львівський нац. ун-т. ім. Івана Франка, 2003. – С.87.

8. Demkiv L.I. Research into initial-boundary effects of the physical processes // Proc. 4th IMACS Symp. on Math. Mod., Vienna(Austria). – 2003. –P.301.

9. Makarov V.L., Demkiv L.I. Taking into account the third kind conditions in weight estimates for difference schemes // Proc. 5th Intern. Conf. "Large Scale Scientific Computations" (LSSC'05). –Sozopol (Bulgaria):Inst. for Parallel Processing, Bulg. Acad. of Sci., 2005. –P.B–42.

10. Makarov V.L., Demkiv L.I. Accuracy estimates of difference schemes for quasi-linear elliptic equations with variable coefficients taking into account boundary effect // Proc. Third Intern. Conf. on Numer. Anal. and Appl. (NA&A'04). –Rousse(Bulgaria):Univ of Rousse, 2004. –P.27.