Анотація до роботи:

Симчук Я.В. Особливості поширення циліндричних хвиль в гіперпружних матеріалах з внутрішньою структурою. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла. – Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, Київ, 2008.

Дисертаційна робота присвячена дослідженню поширення циліндричних хвиль в гіперпружних композитних матеріалах. Виведено нелінійні хвильові рівняння для різних представлень пружного потенціалу, що відповідають двом різним мікроструктурним моделям композитних матеріалів – моделі ефективних пружних модулів і моделі двофазної пружної суміші. Отримано наближені розв’язки на основі функцій Ханкеля для радіальних поздовжних циліндричних хвиль та на основі функцій Бесселя для крутильних циліндричних хвиль. Досліджені особливості поширення крутильних циліндричних хвиль також для трансверсально-ізотропних матеріалів. Проведене комп’ютерне моделювання еволюції радіальних циліндричних хвиль і крутильних циліндричних хвиль для випадків ізотропних та трансверсально-ізотропних матеріалів з внутрішньою структурою мікро або нанорівня. На основі результатів цього моделювання побудовано сценарії розвитку еволюції та проведене порівняння результатів для випадків “плоска хвиля – циліндрична хвиля”, ”циліндрична хвиля – циліндрична хвиля”, отриманих для потенціалів Мернаґана та Сіньйоріні.

В дисертаційній роботі реалізовано основану на строгому підході нелінійної механіки континуума процедуру побудови нелінійних хвильових рівнянь, що описують поширення та взаємодію циліндричних гіперпружних хвиль. Нелінійність вводиться метричними коефіцієнтами, тензором деформацій Коші-Гріна та потенціалом Мернагана і відповідає квадратичній нелінійності всіх основних співвідношень. Розглядаються чотири варіанти врахування фізичної та геометричної нелінійностей в хвильових рівняннях. Для різних варіантів врахування фізичної та геометричної нелінійностей та для всіх чотирьох конфігурацій пружного середовища побудовано нелінійні хвильові рівняння через компоненти вектора переміщень, що дає можливість будувати розв’язки цих рівнянь та проводити числове моделювання поширення хвиль.

Для моделі Сіньйоріні гіперпружного середовища реалізовано принципову схему виведення нелінійних хвильових рівнянь, що описують поширення і взаємодію циліндричних хвиль. Для конфігурації IV, залежної тільки від координати , побудовано нелінійне хвильове рівняння через компоненти вектора переміщень в рамках кубічної нелінійності. Отримане рівняння дозволяє провести числове моделювання поширення циліндричної хвилі методами, що застосовувалися при аналізі хвиль в більш вивченій моделі Мернаґана. Це дає змогу провести порівняльний аналіз поширення циліндричних хвиль при використанні двох різних моделей гіперпружного середовища – моделі Сіньйоріні та моделі Мернаґана.

Показана процедура запису нелінійних хвильових рівнянь в циліндричних (ортогональних) координатах стосовно структурної теорії композитних матеріалів, основаної на моделі суміші двох пружних компонентів.

Методом послідовних наближень знайдено наближені розв’язки нелінійних хвильових рівнянь на основі різних апроксимацій функції Ханкеля для радіальних циліндричних хвиль і проведене порівняння розв’язків для квадратичної та кубічної апроксимації. Для крутильних циліндричних хвиль побудовано розв’язки на основі функції Бесселя для ізотропних та трансверсально – ізотропних матеріалів.

Записано таблиці механічних сталих для волокнистих та гранульованих композитів.

Проведене комп’ютерне моделювання поширення гіперпружних циліндричних хвиль, що включає побудову двовимірних та тривимірних графіків, що описують еволюцію радіальних та крутильних циліндричних хвиль.

На основі комп’ютерного аналізу поширення циліндричних хвиль побудовано сценарії волюції профілів у залежності від параметрів початкової форми профіля та характерних розмірів матеріалу. Для плоскої поздовжньої хвилі основні етапи сценарію:

Етап 1. Початковий профіль залишається зовні косинусоїдним, але графік нахиляється донизу під сталим кутом – максимальне додатне значення зменшується і максимальне від’ємне значення збільшується.

Етап 2. Вершина косинусоїди опускається і замість вершини утворюється плато, далі плато опускається ще і його середня частина опускається швидше, так що профіль з одногорбого стає двогорбим, частота повторення двогорбого профілю залишається тією ж, що і в початковому профілі. Починаючи з цього етапу, амплітуда зростає.

Етап 3. При збереженні попередньої частоти профіль формується більш чітко двогорбим зі збільшенням впадини до її дотику з віссю абсцис.

Етап 4. Впадина росте в сторону від’ємних значень і профіль стає схожим на косинусоїдальний з подвоєною частотою початкового профілю, тобто його другої гармоніки, але з нерівними амплітудами розмаху – відповідна впадині амплітуда дещо менша.

Етап 5. Остаточний розвиток еволюції приводить до профілю другої гармоніки – перша гармоніка перетворюється в другу.

Для циліндричної хвилі:

Етап 1. Висхідна (знизу вгору) гілка графіка періодично затухаючих коливань з кожним новим циклом коливань все більше нахиляється до осі абсцис. Низхідна гілка практично незмінна.

Етап 2. Навколо точки перетину гілки, що нахиляється, утворюється ніби плато, яке надалі трансформується в синусоїду з малою і повільно зростаючою з ростом циклів амплітудою. Одночасно основна висхідна гілка стає все більше симетричною до низхідної, разом вони утворюють один новий цикл коливань, який наближається до циклу з подвійною початковою частотою.

Етап 3. Новий цикл коливань з малою амплітудою поступово збільшує амплітуду з ростом циклів до величини, порівняної з амплітудою основного нового циклу. При цьому частота малого циклу коливань також прямує до подвоєної початкової частоти.

Етап 4. Новий основний і малий цикли коливань асимптотично зближуються за частотою і амплітудою, показуючи перетворення початкової першої «гармоніки» в її другу «гармоніку» з тими зауваженнями, що обидві гармоніки не є гармоніками в класичному розумінні. Цей етап характерний зупинкою у спаданні амплітуди і поступовим її зростанням. Хвиля із затухаючої перетворюється в хвилю, яка накопичує енергію.

Публікації автора:

1. Рущицький Я.Я., Симчук Я.В. Квадратично нелінійне хвильове рівняння для циліндричних гіперпружних осесиметричних хвиль, що поширюються в радіальному напрямку // Доповіді НАН України. – 2005, №10. – С. 45-52.

2. Рущицький Я.Я., Симчук Я.В. Теоретичний та числовий аналіз квадратично нелінійних циліндричних осесиметричних хвиль, що поширюються в композитах мікро і нанорівня // Доповіді НАН України. – 2006, № 3. – С. 54-62.

3. Rushchitsky J., Cattani C., Symchuk J. Evolution of the initial profile of hyperelastic cylindrical waves in fibrous nanocomposites // Збірник праць Ін-ту математики НАН України, 2006. – 3. – № 4. – С. 63-69.

4. Рущицкий Я.Я., Симчук Я.В. О высших приближениях при анализе нелинейных цилиндрических волн в гиперупругой среде // Прикл. механика. – 2007. – 43, № 4. – С. 36-45.

5. Рущицкий Я.Я., Симчук Я.В. О моделировании цилиндрических волн в нелинейно деформируемых композитных материалах // Прикл. механика. – 2007. – 43, № 6. – С. 63-72.

6. Terletska K.V., Symchuk J.V. Application of Wavelet-Frames to Modeling Evolution of Solitary Waves in Composites.// Book of Abstracts of X International Scientific Kravchuk Conference. – Kyiv, 2004. – P. 195.

7. Terletska K.V., Symchuk J.V. Modeling of Solitary Impulses in a Composite Material Using Wavelet Analysis // Book of Abstracts of Conference Modern Problems of Mathematics and Informatics. – Lviv, 2004. – P. 126.

8. Symchuk J., Cattani C., Rushchitsky J. To Nonlinear Modelling the Cylindrical Waves in Fibrous Nanocomposites // Thesis of Conference Reports of International Conference on Dynamical System Modelling and Stability Investigation. – Kyiv, 2005. –P. 364.

9. Cattani C., Rushchitsky J., Symchuk J. Evolution of the Initial Profile of Hyperelastic Cylindrical Waves in Fibrous Nanocomposites // Book of abstracts of International Workshop on Free Boundary Flows and Related Problems of Analysis. –Kyiv, 2005. – P. 10.

10. Rushchitsky J., Cattani C., Symchuk J. To evolution of the profile of hyperelastic cylindrical waves in fibrous nanocomposites // Abstracts of GAMM 2006. Berlin, 27-31 March, 2006. – P. 374-375.

11. Симчук Я.В., Михальов І.І. Пружні вейвлети та їх застосування до задач про поширення поодиноких хвиль // XXI міжнародна наукова конференція
ім. М. Кравчука. – Київ, 2006. – С. 248.

12. Rushchitsky J., Cattani C., Terletska E., Symchuk J. Elastic wavelets and their application to problems of solitary wave propagation // Rendiconti di Accademia di Messina Comput. 2007

13. Хотенко І.М., Хотенко О.О., Симчук Я.В. Кубічно нелінійні крутильні гіперпружні хвилі в ізотропних циліндрах // Thesis of Conference Reports of International Conference on Dynamical System Modelling and Stability Investigation, Kyiv, 2007. – P. 340.

14. Хотенко І.М., Хотенко О.О., Симчук Я.В. Квадратично нелінійні крутильні гіперпружні хвилі в ізотропних циліндрах // Book of abstracts of Bogolubov readings 2007 Dedicated to Yu. A. Mitropolskii on the occasion of his 90^th birthday, Zhitomir, 2007. – P. 102-103.