Власенко Дмитро Іванович. Опуклі гіперповерхні в ріманових просторах недодатної кривини : дис... канд. фіз.-мат. наук: 01.01.04 / Харківський національний ун-т ім. В.Н.Каразіна. - Х., 2005.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.04 – геометрія і топологія. – Харківський національний університет імені В.Н. Каразіна, Харків, 2005.
Дисертація присвячена дослідженню опуклих, h-опуклих та -опуклих поверхонь у просторах недодатної кривини. У дисертації отримано узагальнення на випадок простору Лобачевського і випадок многовиду Адамара результатів про опуклі, h-опуклі та -опуклі поверхні робіт О.Д. Александрова, О.А. Борисенка, А.Д. Мілки, Ж. Хейенорта та інших авторів.
Отримано критерій вкладеності для зануреної в простір Лобачевського локально опуклої гіперповерхні. Критерій є аналогом теореми Ж. Хейенорта для евклідового простору.
Отримано нижню та верхню оцінки відношення об’єму -опуклого тіла до площі його межі в багатовимірному просторі Лобачевського. Отримано нижню та верхню оцінки відношення об’єму h-опуклого тіла до площі його межі у многовиді Адамара.
Знайдено умови, за яких повна -опукла гіперповерхня многовиду Адамара ізометрична метричній сфері простору Лобачевського, і куля, обмежена сферою у многовиді Адамара, є ізометричною кулі простору Лобачевського.
Досліджено властивості h-многогранників простору Лобачевського – нового класу об’єктів, досліджених у цій роботі. Показано, что h-опуклі поверхні простору Лобачевського являються метричними просторами недодатної кривини у розумінні О.Д. Александрова.
У дисертації проведено дослідження геометрії h-опуклих та -опуклих поверхонь у просторах недодатної кривини. Вивчено поведінку сім’ї h-опуклих та -опуклих поверхонь, поширюваних на весь простір недодатної кривини.
Основні результати, отримані у дисертації, полягають у наступному:
Знайдено критерій, коли занурена у простір Лобачевського локально опукла поверхня буде вкладеною. Доведено, що коли занурена у простір Лобачевського повна n-вимірна (n2) гіперповерхня M буде локально опуклою і локально опорною на орисфери, тоді гіперповерхня M буде вкладена, як межа опуклого тіла, та або M буде компактом гомеоморфним сфері, який обмежує опукле тіло, або M буде орисферою.
Отримано оцінки відношення об’єму -опуклого тіла до площі його межі у просторі Лобачевського за допомогою оцінки кута, утвореного перетином променя з -площиною, які виражаються через радіуси вписаної та описаної куль. Як наслідок, отримано аналогічну оцінку для -опуклих тіл, поширюваних на простір Лобачевського.
Отримано оцінки відношення об’єму h-опуклого тіла до площі його межі у многовиді Адамара за допомогою оцінки кута, утвореного перетином променя з орисферою. Оцінка відношення виражається через радіуси вписаної та описаної куль. Як наслідок, отримано аналогічну оцінку для h-опуклих тіл, поширюваних на многовид Адамара.
Знайдено умови, за яких повні h-опуклі гіперповерхні многовиду Адамара будуть ізометричні метричним сферам простору Лобачевського.
Доведено, що h-опуклі поверхні простору Лобачевського, як метричні простори, є просторами невід’ємної кривини у розумінні Александрова.
Знайдено аналоги теорем та отримано узагальнення деяких результатів на випадок простору Лобачевського та многовиду Адамара про h-опуклі та -опуклі поверхні в просторах евклідового простору та простору Лобачевського, що були одержані у роботах О.Д. Александрова, О.А. Борисенка, К. Курье, Р. Лашофа, А.Д. Мілки, Р. Сакстедера, Ж. Хейенорта та інших авторів.
Отримані результати можуть бути використаними для подальших досліджень геометрії h-опуклих та -опуклих поверхонь у просторах недодатної кривини.
Публікації автора:
1. Власенко Д.И. О кривизне общих h-выпуклых гиперповерхностей в пространстве Лобачевского // Успехи математических наук. – 1999. – Т. 54, № 4(328). – C. 149–150.
2. Борисенко А.А., Власенко Д.И. Выпуклые поверхности пространства Лобачевского // Математическая физика, анализ, геометрия. – 1997. – Т. 4, № 3. – C. 278–285.
3. Борисенко А.А., Власенко Д.И. Асимптотическое поведение объемов выпуклых тел в многообразии Адамара // Математическая физика, анализ, геометрия. – 1999. – Т. 6, № 3/4. – C. 223–233.
4. Борисенко А.А., Власенко Д.И. О поведении объемов выпуклых тел в многообразии неположительной кривизны // Доповіді НАН України. – 2000. – № 6. – C. 10–14.
5. Борисенко А.А., Власенко Д.И. Экстремальные свойства пространства Лобачевского // Доповіді НАН України. – 2004. – № 12. – C. 13–19.
6. Борисенко А.А., Власенко Д.И. Выпуклые поверхности пространства Лобачевского // Тезисы международной конференции по геометрии, посвященной Н.В. Ефимову. – Ростов-на-Дону.– 1996. – C. 37–38.
7. Борисенко А.А., Власенко Д.И. О поведении объемов выпуклых тел в многообразии неположительной секционной кривизны // Тезисы 3-й международной конференции по геометри в целом. – Черкасы. – 1999. – C. 12–13.
8. Борисенко А.А., Власенко Д.И. Экстремальные свойства пространства Лобачевского // Тезисы 5-й международной конференции по геометрии в целом. – Черкасы. – 2003. – C. 21–22.
Висловлюю щиру подяку моєму науковому керівнику – доктору фізико-математичних наук, член-кореспонденту НАН України О.А. Борисенку за постановку задач і допомогу в роботі над дисертацією.
