Анотація до роботи:

Бородачов С.В. Оптимізація наближеного інтегрування на деяких класах функцій однієї і багатьох змінних. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 – математичний аналіз. Дніпропетровський національний університет, Дніпропетровськ, 2004 р.

Дисертацію присвячено дослідженню задач оптимізації формул наближеного інтегрування, що використовують інформацію різних типів, на ряді класів функцій однієї та багатьох змінних. На класі монотонних функцій d змінних знайдено найкращу “інтервальну” формулу з довільними та фіксованими вузлами (d=1) і оптимальні кубатурні формули з вузлами у прямокутних сітках (d=2), у n заданих точках (d>1) та n гіперплощинах (d>1).

Одержано найкращу “інтервальну” формулу на класах . На класі періодичних функцій d змінних, що за кожною змінною належать до деякого класу , знайдено найкращу “інтервальну” кубатурну формулу центри вузлових паралелепіпедів якої утворюють прямокутні сітки. На класах функцій, визначених на d-вимірній кулі із даною мажорантою модуля неперервності, одержано оптимальні формули з однією вузловою кулею та n вузловими сферами.

Знайдено найкращу “інтервальну” формулу на класі , . Отримано оптимальну “точкову” квадратурну формулу на перетинах деяких стандартних класів періодичних диференційовних функцій однієї змінної. На класі , , одержано найкращу “інтервальну” формулу, що використовує усереднення похідних. Знайдено оптимальний алгоритм наближеного відновлення інтегралу вздовж d-вимірної кулі, що має n вузлових сфер, на класі диференційовних функцій, що мають певне інтегральне обмеження на градієнт. На деяких класах періодичних функцій d змінних знайдено оптимальну кубатурну формулу з вузлами у прямокутних сітках та її “інтервальний” аналог.

1. Досліджено задачу оптимізації формул наближеного інтегрування монотонних функцій однієї і багатьох змінних. Зокрема, доведено. що для класу монотонних функцій двох змінних серед кубатурних формул з вузлами у прямокутних сітках оптимальною є формула з рівновіддаленими вузлами (двовимірний аналог правила трапецій). Для монотонних функцій d змінних (d>1) розв'язано задачу про найкращі коефіцієнти формули з фіксованими вузлами.

2. Для ряду класів функцій однієї і багатьох змінних розв'язано задачу оптимізації "інтервальних" формул наближеного інтегрування та їх багатовимірних узагальнень. Зокрема, знайдені оптимальні "інтервальні" формули для одновимірних класів , , , 1, монотонних функцій. Крім того, для класів функцій однієї та багатьох змінних проведено порівняння формул наближеного інтегрування, які використовують усереднення по інтервалах (паралелепіпедах) функції і її похідних, з формулами, які використовують тільки усереднення функції.

3. Досліджена задача оптимізації наближеного інтегрування за допомогою формул, які використовують інтеграли по перетинах області визначення з гіперплощинами, сферами, кулями. Зокрема, доведено, що серед алгоритмів наближеного обчислення інтегралу вздовж d-вимірної кулі за усередненнями вздовж n вкладених сфер, оптимальним на класі є алгоритм з концентричними вузловими сферами, радіуси яких розподілені як вузли оптимальної вагової квадратурної формули на одновимірному класі (з вагою ). На класі монотонних функцій, визначених на кубі , розв'язано задачу оптимізації кубатурних формул, що використовують інтеграли вздовж його перетинів з n гіперплощинами.

4. Доведено загальну теорему про оптимальне відновлення деяких функціоналів, означених на класі функцій багатьох змінних, по значенням функцій у вузлах прямокутних сіток (або усередненням по паралелепіпедах з центрами у вузлах прямокутних сіток). За допомогою цієї теореми знайдені оптимальні кубатурні формули з вузлами у прямокутних сітках для ряду природніх класів неперервних і диференційовних функцій багатьох змінних. Зокрема, на класах періодичних функцій d змінних, похідні даних порядків яких вздовж кожної змінної є обмеженими або мають задані опуклі мажоранти модулів неперервності і непарний порядок, доведено оптимальність формули з рівновіддаленими вузлами. Одержано також "інтервальний" аналог цього результату для випадку обмежених частинних похідних.