Анотація до роботи:

Зубкова О.І. Обернена задача розсіяння для неермітових систем диференціальних рівнянь. – Рукопис. – Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.03 – математична фізика. – Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України, Харків, 2008.

Дисертаційну роботу присвячено розв’язанню обернених задач розсіяння для операторів Шредінґера з неермітовими, у тому числі трикутними, матричними потенціалами на півосі та на осі. Для систем з трикутними матричними потенціалами (на осі з трикутним матричним потенціалом), дійсними на діагоналі та без віртуального рівня, знайдено необхідні і достатні (для осі з невеликою відмінністю) умови для того, щоб задані величини були даними розсіяння розглянутих задач. Встановлено, зокрема, властивості нормувальних поліномів даних задач розсіяння. Крім того, у дисертації введено для матричних потенціалів нове поняття фазової еквівалентності у кількох варіантах: фазова напівеквівалентність, фазова тильда-напівеквівалентність та фазова еквівалентність. За допомогою введених понять та отриманих для них результатів поширено теорему МарченкаАграновича про характеристичні властивості даних розсіяння для систем з ермітовим матричним потенціалом на характеристичні властивості даних розсіяння для введених класів неермітових задач. Знайдено умови на припустимі, у тому числі неермітові, збурення нормувальних матриць, які не виводять із класу задач з матричними потенціалами, фазово-еквівалентними одному й тому ж ермітовому потенціалу.

У дисертації розв’язано обернену задачу розсіяння для систем Шредінґера з трикутним матричним потенціалом на півосі та на осі, а також з іншими класами неермітових матричних потенціалів, побудованих за допомогою введеного поняття фазово-еквівалентних матричних потенціалів. Отримано нові результати, що становлять інтерес для фахівців в галузі математичної фізики та її застосувань і можуть бути використані як у теорії розсіяння, так і при інтегруванні нелінійних рівнянь математичної фізики. Деякі з цих результатів цитуються у монографії І.-П. Сироїда² (Львів, 2005). Зокрема, у дисертації доведено наступне:

1. Встановлено характеристичні властивості даних розсіяння для неермітової задачі на півосі з трикутним матричним потенціалом (дійсним на діагоналі та без віртуального рівня) і, зокрема, знайдено властивості матричних нормувальних поліномів для даної задачі розсіяння. Для цієї задачі однозначна розв’язність рівняння Марченка доведена, виходячи з установлених властивостей даних розсіяння. При цьому, якщо відомі розв’язки самоспряжених скалярних обернених задач розсіяння, що відповідають діагональним елементам даних розсіяння, то розв’язок вказаної матричної оберненої задачі розсіяння отримано в явному вигляді.

2. Знайдено необхідні і з невеликою відмінністю достатні умови для того, щоб задані величини були даними розсіяння неермітової задачі на осі з трикутним матричним потенціалом (дійсним на діагоналі та без віртуального рівня). При цьому, однозначну розв’язність рівняння Марченка доведено, виходячи зі знайдених властивостей даних розсіяння. Відновлено матричні коефіцієнти проходження за величинами, які задовольняють умовам для даних розсіяння, знайденим у дисертації. Це дало змогу отримати безпосередній зв'язок між правими та лівими нормувальними поліномами для задачі з трикутним матричним потенціалом на осі, обминаючи відновлення потенціалу.

3. Введено нові поняття матричних фазово-напівеквівалентних потенціалів та матричних фазово-еквівалентних потенціалів і отримано необхідні і достатні умови фазової напівеквівалентності двох напівермітових потенціалів (тобто потенціалів, напівеквівалентних ермітовому потенціалу). Це дало змогу поширити теорему МарченкаАграновича про характеристичні властивості даних розсіяння систем з ермітовим матричним потенціалом на характеристичні властивості даних розсіяння для введених класів неермітових (а саме, напівермітових) задач. Знайдено умови на припустимі, у тому числі неермітові, збурення нормувальних матриць, що не виводять із класу задач розсіяння з матричними потенціалами, фазово-еквівалентними одному й тому ж ермітовому потенціалу. Також знайдено збурення матричних потенціалів і розв’язків Йоста даної задачі, викликані заданими збуреннями нормувальних матриць. Наведено приклади застосування отриманих результатів, у тому числі достатності одних умов та необхідності інших умов.

Публікації автора:

1. Бондаренко Е.И. (Зубкова Е.И.) Возмущения нормировочных матриц обратной задачи рассеяния // Матем. физика, анализ, геометрия. – 2002. – Т. 9, № 1. – С. 3-17.

2. Бондаренко Е.И. (Зубкова Е.И.), Рофе-Бекетов Ф.С. Обратная задача рассеяния на полуоси для системы с треугольным матричным потенциалом // Матем. физика, анализ, геометрия. – 2003. – Т. 10, № 3. – С. 412-424.

3. Zubkova E.I. and Rofe-Beketov F.S. Inverse Scattering Problem on the Axis for the Schrцdinger Operator with Triangular Matrix Potential. I. Main Theorem // J. Math. Phys., Anal., Geom. – 2007. – V. 3, № 1. – P. 47-60.

4. Zubkova E.I. and Rofe-Beketov F.S. Inverse Scattering Problem on the Axis for the Schrцdinger Operator with Triangular Matrix Potential. II. Addition of the Discrete Spectrum // J. Math. Phys., Anal., Geom. – 2007. – V. 3, № 2. – P. 176-195.

5. Бондаренко Е.И. (Зубкова Е.И.), Рофе-Бекетов Ф.С. Фазово-эквивалентные матричные потенциалы // Электромагнитные волны и электронные системы. (Рубрика: Новые математические методы.) 2000. Т. 5, № 3. С. 6-24. (Англ. перекл.: Bondarenko E.I. (Zubkova E.I.) and Rofe-Beketov F.S. Phase-equivalent matrix potentials // Telecommunications and Radio Engineering. (The rubric: New Mathematical Methods.) 2001. V. 56, № 8&9. P. 4-29.)

6. Bondarenko E.I. (Zubkova E.I.) and Rofe-Beketov F.S. Phase-Equivalent Matrix-Valued Potential // Матерiали 8 Мiжн. наук. конф. iм. академiка М. Кравчука. Київ, 11-14 травня 2000 р. – Київ. – 2000. – С. 27.

7. Бондаренко Е.И. (Зубкова Е.И.), Рофе-Бекетов Ф.С. Обратная задача рассеяния для некоторых типов неэрмитовых систем дифференциальных уравнений // Тези доповідей на Міжн. конф. "Диференціальні та інтегральні рівняння". Одеса, 12-14 вересня 2000 р. – Одеса. – 2000. – С. 38.

8. Bondarenko E. (Zubkova E.), Rofe-Beketov F. Direct and Inverse Problems for Special Classes of Non-Self-Adjoins Differential Systems // Abstracts of International Conference "Functional Analysis and its Applications". Lviv, May 28-31, 2002. – Lviv. – 2002. – P. 41.

9. Бондаренко Е.И. (Зубкова Е.И.), Рофе-Бекетов Ф.С. Обратная задача рассеяния с треугольным матричным потенциалом // Book of Abstracts of International Conference "Inverse Problems and Nonlinear Equations". Kharkiv, August 12-16, 2002. Kharkiv. 2002. P. 11-13.

10. Bondarenko E. (Zubkova E.), Rofe-Beketov F. Inverse Scattering Problems for the One-Dimensional and Radial Schrцdinger Operators with the Triangle Matrix Potentials // Book of Abstracts of International Conference "Nonlinear Partial Differential Equations". Alushta, September 15-21, 2003. Donetsk. 2003. P. 32.

11. Zubkova E.I., Rofe-Beketov F.S. Inverse Scattering Problem on the Axis for the Schrцdinger Equation Systems with Triangle Potential // Abstracts of International Conference "Analysis and Related Topics". Lviv, November 17-20, 2005. Lviv. 2005. P. 122-123.

12. Zubkova E.I., Rofe-Beketov F.S. Inverse Scattering Problem on the Axis for the Schrцdinger Operator with Triangular Matrix Potential // Book of Abstracts of International Conference "Entire and Subharmonic Functions and Related Topics". Kharkiv, August 14-17, 2006. Kharkiv. 2006. P. 45.

13. Zubkova E.I., Rofe-Beketov F.S. Addition of the Discrete Spectrum in the Inverse Scattering Problem on the Axis for the Schrцdinger Operator with Triangular Matrix Potential // Матерiали 11 Мiжн. наук. конф. iм. академiка М. Кравчука. Київ, 18-20 травня 2006 р. Київ. 2006. - С. 429.

14. Rofe-Beketov F.S., Zubkova E.I. Inverse Scattering Problems for the Schrцdinger Operator with Triangular Matrix Potential // Abstracts of International Conference "Modern Analysis and Applications". Odessa, April 9-14, 2007. Kyiv. 2007. P. 122.

15. Zubkova E.I., Rofe-Beketov F.S. Inverse Scattering Problems with the Not Self-Adjoint Matrix Potential // Book of Abstracts of International Conference "Lyapunov Memorial Conference". Kharkiv, June 24-30, 2007. Kharkiv. 2007. P. 182.