Анотація до роботи:

Іванов Р.В. Нові класи розв’язків рівнянь гідродинаміки для сферичних вихроутворень. Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.05.– Механіка рідини, газу та плазми. Дніпропетровський національний університет ім. Олеся Гончара, м. Дніпропетровськ, 2008.

В роботі наведені класи точних розв’язків стаціонарних рівнянь Ейлера, які описують вихрові закручені течії в просторі, сфері, сферичних шарах. Частина розв’язків отримана за допомогою узагальненого методу відокремлення змінних. Розв’язки, які описують гвинтові за Громекою-Бельтрамі течії, побудовані методом, який ґрунтується на напівоберненому використанні інтегралу Бернуллі сумісно із узагальненим відокремленням змінних. В зліченій множині зазначених розв’язків знайдено функції течії, які є гвинтовими аналогом джерела (стоку) та мультиполів різних порядків, а також отримані, відомі раніше, гвинтові аналоги однорідного потоку і диполя. Показано можливість використання отриманих результатів для дослідження руху різноманітних просторових течій, зокрема, просторового обтікання тіл закрученим потоком.

Розв’язки, які описують гвинтові за Жуковським течії використано для дослідження руху в сферичних областях, який обумовлено обертання середовища, як цілого.

Основними науковими та практичними результатами дослідження є:

1. За допомогою розробленої методики отримані нові класи точних розв’язків рівнянь гідродинаміки, які описують вихрові течії. Один з отриманих класів розв’язків описує течії, траєкторії яких мають вигляд просторових спіралей, які лежать на циліндричних поверхнях. Зазначені течії класифіковано як циркуляційні гвинтоподібні.

2. Розроблено метод, який ґрунтується на напівоберненому використанні інтеграла Бернуллі сумісно з узагальненим відокремленням змінних. За його допомогою отримано клас розв’язків, які описують гвинтові за Громекою-Бельтрамі вісесиметричні течії. Визначено умови неперервності фізичних полів для даних розв’язків. Для окремих гвинтових розв’язків досліджено поля швидкостей і тиску. Встановлено, що клас гвинтових розв’язків дозволяє систематично досліджувати сферичні вихрові течії, що являють собою багатокоміркові вихрові структури типу торів, які розташовані у сферичних шарах та відокремлюються між собою системою конічних поверхонь. Наведена методика визначення параметрів вказаних геометричних структур та отримано конкретні значення для деяких окремих випадків.

3. У зліченій множені гвинтових за Громекою-Бельтрамі розв’язків знайдено функції течії, які є гвинтовими аналогом джерела (стоку) та мультиполів різних порядків, а також отримані, відомі раніше, гвинтові аналоги однорідного потоку і диполя. Показано можливість використання отриманих результатів для дослідження руху різноманітних просторових течій, зокрема, просторового обтікання тіл закрученим потоком.

4. За допомогою методу відокремлення змінних отримано розв’язок, який є комбінацією закрученого просторового потоку і гвинтової течії та визначені умови його неперервності. Шляхом аналізу полів швидкостей і тиску показано, що існує безліч варіантів виникнення у сфері закрученого вихору типу Хілла; встановлено параметричні умови існування каскадних торових вихрових структур усередині непроникних для течії сфер. При цьому перехід течії через непроникні границі розділу сфери відбувається неперервно за полями швидкостей і тиску. Вперше отримано відокремлені вихрові кільця у зовнішньому закрученому потоці, які обертаються у одному напрямі. Подальше дослідження показало, що зовнішній просторовий рух є обертальним рухом середовища як цілого, на яке накладено поступальний рух вздовж осі обертання, а вся течія відповідає гвинтовій за Жуковським. За допомогою відповідної функції течії розв’язано задачі про рух навколо сфери, в сферичній порожнині та сферичному шарі. В цих областях при збільшенні коефіцієнту закручування виникають циркуляційні зони – тори. Отримані структури відповідають інерційним внутрішнім хвилям.

5. На основі точних розв’язків рівнянь Ейлера отримано точні розв’язки повних рівнянь Нав’є-Стокса, можливість практичного використання яких потребує подальших досліджень.