Анотація до роботи:

Шовкопляс Т. В. Нетерові крайові задачі для імпульсних систем диференцііальних рівнянь. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2003 рік.

У дисертації досліджуються питання конструктивного аналізу нетерових крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь другого порядку та систем диференціальних рівнянь другого порядку з імпульсами у фіксовані моменти часу.

Встановлені необхідні і достатні умови розв’язності загальних нетерових лінійних крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь другого порядку з імпульсною дією і без неї. Побудовані узагальнені матричні функції Гріна відповідних крайових задач і досліджено їх властивості, також побудовано узагальнений оператор Гріна. Розв’язана задача регуляризації не скрізь розв’язної лінійної нетерової імпульсної крайової задачі з допомогою слабких збурень коефіцієнтів імпульсної системи і крайових умов.

Отримано коефіцієнтну умову виникнення розв’язку слабкозбуреної імпульсної лінійної нетерової крайової задачі в тому випадку, коли відповідна породжуюча крайова задача не має розв’язків. Для слабкозбурених нелінійних крайових задач отримано необхідну умову існування розв’язку в критичному випадку, побудовано аналог рівняння для породжуючих амплітуд, отримано достатню умову існування розв’язку в критичному випадку.

Побудовані узагальнені матричні функції Гріна та оператор Гріна відповідних крайових задач; встановлені та досліджені властивості узагальнених матричних функцій Гріна.

Дисертаційна робота присвячена актуальним питанням конструктивного аналізу загальних нетерових крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь і систем диференціальних рівнянь з імпульсною дією. В роботі поставлена і розв’язана задача отримання конструктивних умов розв’язності крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь другого порядку з імпульсами у фіксовані моменти часу. Загальні крайові умови задаються з допомогою обмежених (лінійних і слабконелінійних) векторних функціоналів.

У роботі:

- встановлено необхідні і достатні умови розв’язності загальних нетерових лінійних крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь другого порядку і систем диференціальних рівнянь другого порядку з імпульсною дією;

- побудовано узагальнені матричні функції Гріна лінійних нетерових крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь другого порядку і систем диференціальних рівнянь другого порядку з імпульсною дією та досліджено їх властивості. За допомогою узагальнених матриць Гріна побудовані множини розв’язків відповідних крайових задач;

- визначено коефіцієнтну умову виникнення розв’язку слабкозбуреної лінійної нетерової імпульсної крайової задачі для системи диференціальних рівнянь другого порядку у випадку, коли відповідна породжуюча задача не має розв’язків;

- знайдено необхідну умову розв’язності слабкозбуреної нелінійної імпульсної крайової задачі у критичному випадку;

отримано аналог рівняння для породжуючих амплітуд;

- встановлено достатню умову існування розв’язку слабкозбуреної імпульсної нелінійної крайової задачі у критичному випадку;

- з допомогою фундаментальної матриці лінійної однорідної системи диференціальних рівнянь другого порядку побудована матриця Гріна крайової задачі з розщепленими двоточковими крайовими умовами у некритичному випадку і побудовано розв’язок крайової задачі у лінійному і нелінійному випадках.

Результати дисертації мають теоретичний характер і узагальнюють теорію нетерових лінійних і слабконелінійних крайових задач на випадок крайових задач для систем диференціальних рівнянь другого порядку з імпульсною дією у фіксовані моменти часу.

Публікації автора:

1. Шовкопляс Т. В. Необхідні та достатні умови існування розв’язку крайової задачі // Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. Сб-к науч. трудов. – Киев: Ин-т м-ки НАН Украины. – 1999. – С. 280-282.

2. Шовкопляс Т. В. Некритична квазілінійна крайова задача для системи диференціальних рівнянь другого порядку з імпульсною дією // Крайові задачі для диференціальних рівнянь. Зб-к наук. пр. Чернівецький держ. ун-т ім. Ю. Федьковича. – 1999. – Вип. 4. – С. 202-213.

3. Шовкопляс Т. В. Критерій розв’язності лінійної крайової задачі для системи другого порядку // Укр. Мат. Журн. –2000 . – Том 52, № 6. – С. 861-864.

4. Шовкопляс Т. В. Лінійні крайові задачі для імпульсних систем другого порядку // Нелінійні коливання. – Наук. ж-л. – Київ: Ін-т м-ки НАН України. – 2000. – Том 3, № 4. – С. 571-578.

5. Шовкопляс Т. В. Про розв’язність лінійних двоточкових крайових задач з імпульсною дією // Вісн. Київ-го ун-ту. Сер. Математика. Механіка. – 1999. – Вип 3. - С. 48-53.

6. Шовкопляс Т. В. Слабкозбурені лінійні крайові задачі для систем диференціальних рівнянь другого порядку // Доп. НАН України. – 2002. – № 4. С. 31-36.

7. Кривошея С. А., Шовкопляс Т. В. Необхідна умова розв’язності нетерової імпульсної крайової задачі для системи диференціальних рівнянь другого порядку // Вісн. Київ-го ун-ту. Сер. Фізико-математичні науки. – 2003. – Вип. 1. - С. 86-95.

ТЕЗИ

1. Ронто А. М., Шовкопляс Т. В. Про одну крайову задачу для квазілінійної імпульсної системи другого порядку // Матеріали Міжнар. наук. конф. “Сучасні проблеми математики”.– Частина 2. – Чернівці – Київ: Чернівецький держ. ун-т, Ін-т математики НАН України. – 1998. – С. 258-260.

2. Шовкопляс Т. В. Критерій розв’язності лінійної імпульсної крайової задачі для систем другого порядку // Труды Пятой Крымской Междунар. Математической школы “Метод функций Ляпунова и его приложения” (МФЛ -2000). – Крым, Алушта, Симферополь: Таврический нац. ун-т им. В. И. Вернадского. – 5-13 сентября 2000. – С. 171.

3. Шовкопляс Т. В. Критична крайова задача для системи лінійних диференціальних рівнянь другого порядку. Диференціальні та інтегральні рівняння. // Тези доповідей Міжнар. конф. “Диференціальні та інтегральні рівняння”. – Одеса: Одеський держ. ун-т ім. І. І. Мечникова. – 12-14 вересня 2000. – С. 304.

4. Shovcoplyas T. V. (Kyiv, Ukraine). Weakly nonlinear boundary value problems for systems of the second order differential equations // Abstracts of reports International conference dedicated to M. A. Lavrentyev on the occasion of his birthday centenary. – Ukraine, Kiev: Institute of Mathematics NAS of Ukraine. –

31 October - 3 November 2000. – P. 58-59.

5. Шовкопляс Т. В. Необхідна умова існування розв’язку нелінійної імпульсної крайової задачі для системи диференціальних рівняннь другого порядку. // Український математичний конгрес - 2001. Тези доповідей Міжнар. конф. “Диференціальні рівняння і нелінійні коливання”. – Київ: Ін-т математики НАН України, Київський нац. ун-т ім. Тараса Шевченка. – 27-29 серпня 2001. – С. 168.

6. Шовкопляс Т. В. Умови існування розв’язків крайової задачі з імпульсною дією // Тези доповідей Міжнар. конф. П’яті Боголюбовські читання присвяченої пам’яті професора Д. І. Мартинюка “Теорія еволюційних рівнянь”. – Кам’янець-Подільський: Кам’янець-Подільський держ. педагогічний ун-т. – 22-24 травня 2002 р. – С. 180.

7. Шовкопляс Т. В. Нетерова імпульсна крайова задача та необхідні умови її розв’язності // Тези доповідей Міжнар. наук. конф. “Шості Боголюбовські читання”. – Чернівці: Чернівецький нац. ун-т ім. Юрія Федьковича. – 26-30 серпня 2003. – С. 249.