У дисертаційній роботі, що є новим комплексним дослідженням, розв’язана важлива проблема теорії ймовірностей: побудована теорія нерухомих точок однорідних згладжуючих перетворень та нерухомих точок узагальнених перетворень дробового ефекту. Створена теорія істотно базується на встановленому у дисертації зв’язку між нерухомими точками згаданих перетворень, збіжними випадковими рядами, породженими лінійними рекурсіями, та мартингалами, пов’язаними з гіллястими випадковими блуканнями. Розроблені у дисертації методи дозволили розв’язати проблеми, що залишалися відкритими або частково відкритими: - проблему існування моментів випадкових рядів, породжених лінійними рекурсіями; - проблему асимптотичної поведінки числа видалених ребер у процедурі відокремлення кореня випадкового рекурсивного дерева, поставлену у 1974 році Мейром та Муном; - проблему рівномірної інтегровності мартингалів, пов’язаних з гіллястими випадковими блуканнями, вперше розглянуту Біггінсом у 1977 році; - проблему існування нерухомих точок однорідних згладжуючих перетворень, вперше розглянуту Дарретом та Ліггетом у 1983 році; - проблему Пітмена-Йора, поставлену у 2000 році. Основні результати дисертаційної роботи такі: 1. Досліджено властивості розподілів збіжних випадкових рядів, породжених лінійними рекурсіями, та деяких операторів, що діють на випадковому блуканні, збуреному послідовністю незалежних випадкових величин. Зокрема, встановлена чистота розподілів збіжних випадкових рядів, породжених лінійними рекурсіями, що з додатною ймовірністю мають нескінченне число доданків; доведено, що відомі раніше достатні умови скінченності абсолютних моментів порядку випадкових рядів, породжених лінійними рекурсіями, є також необхідними; вперше отримано критерії існування -моментів збіжних випадкових рядів, породжених лінійними рекурсіями, для деяких вгнутих та асимптотично вгнутих функцій ; вперше доведено критерій існування експоненціальних моментів та отримано формулу для абсциси збіжності твірної функції моментів збіжних випадкових рядів, породжених лінійними рекурсіями; вперше встановлено критерій існування моментів декількох операторів, що діють на випадковому блуканні, збуреному послідовністю незалежних випадкових величин. 2. Досліджено властивості мартингалів, пов’язаних з гіллястими випадковими блуканнями, та розподілів випадкових величин, що є граничними майже напевно та в середньому для таких мартингалів. Зокрема, вперше критерій рівномірної інтегровності таких мартингалів доведено без апріорних моментних припущень; вперше досліджено швидкість збіжності рівномірно інтегровних мартингалів, пов’язаних з гіллястими випадковими блуканнями, до граничних випадкових величин; для різних вгнутих та асимптотично вгнутих функцій отримано критерії скінченності , де -випадкова величина, гранична для рівномірно інтегровних мартингалів, пов’язаних з гіллястим випадковим блуканням; вперше отримано умови, за яких хвости розподілів деяких операторів, що діють на мартингалах, пов’язаних з гіллястими випадковими блуканнями, правильно змінюються та є еквівалентними на нескінченності; вперше знайдено умови, принципово відмінні від умов, згаданих у попередньому пункті, за яких хвости розподілів широкого класу операторів, що діють на мартингалах, пов’язаних з гіллястими випадковими блуканнями, спадають на нескінченності зі степеневою швидкістю. 3. Досліджено нерухомі точки однорідних згладжуючих перетворень. Зокрема, вперше знайдено достатні умови, за яких функція, що задовольняє певне інтегро-функціональне рівняння, є перетворенням Лапласа-Стілт’єса нерухомої точки однорідного згладжуючого перетворення; вперше у повній загальності доведено критерій існування елементарних нерухомих точок однорідних згладжуючих перетворень; досліджено проблему єдиності нерухомих точок однорідних згладжуючих перетворень; побудовано приклад повного метричного простору, на якому однорідне згладжуюче перетворення є стискаючим. 4. Отримано нові властивості саморозкладних розподілів, зосереджених на дійсній осі, розподілів дробового ефекту та послідовностей нижніх та верхніх рекордів. Зокрема, вперше доведено існування саморозкладних розподілів дробового ефекту для функцій відповіді, що не є лог-опуклими; доведено, що розподіл суми нижніх рекордів для нескінченної вибірки з неперервного розподілу, зосередженого на додатній півосі, є розподілом дробового ефекту; встановлено аналог цього результату для верхніх рекордів; отримано характеризації та досліджено властивості невід’ємних саморозкладних розподілів з узагальненими процесами Пуассона в якості керуючих процесів; вперше запропоновано класифікацію деяких відомих саморозкладних розподілів за їх керуючими процесами; введено розподіли, пов’язані з дзета функцією Гурвіца, та досліджено їх безмежну подільність; доведено критерії того, що саморозкладний розподіл має (а) - властивість, (б) - властивість. 5. Досліджено нерухомі точки узагальнених перетворень дробового ефекту та їх зв’язок з проблемою Пітмена-Йора. Зокрема, вперше доведено критерій існування нерухомих точок узагальнених перетворень дробового ефекту зі скінченним середнім та досліджено проблему їх єдиності; вперше розв’язано проблему Пітмена-Йора; отримано критерії існування моментів порядку та експоненціальних моментів нерухомих точок узагальнених перетворень дробового ефекту; вперше встановлено достатні умови, за яких характеристичні функції таких нерухомих точок можуть бути продовжені до цілих функцій; досліджено властивості неперервності нерухомих точок перетворень дробового ефекту; отримано умови, достатні для абсолютної неперервності нерухомих точок; для декількох функцій відповіді знайдено перетворення Лапласа-Стілт’єса та\або щільності відповідних нерухомих точок перетворень дробового ефекту. 6. Отримано умови, достатні для (а) скінченності узагальненої функції відновлення, побудованої за випадковим блуканням (з не обов’язково Невід’ємними кроками), збуреним числовою послідовністю; (б) виконання для такої функції результату типу теореми Блеккуела. | 