Анотація до роботи:

Загороднюк С.М. Напівнескінчені матриці і многочлени, ортогональні на дійсній та уявній осях.- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 – математичний аналіз.- Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 2005.

Дисертація присвячена дослідженню прямих і обернених спектральних задач для (2N+1)-діагональних, комплексних, симетричних матриць, вивченню властивостей многочленів, що пов’язані з п’ятидіагональними, ермітовими, напівнескінченими матрицями, та вивченню відповідної проблеми моментів і її модифікації (симетрична проблема моментів з особливістю в нулі та симетрична проблема моментів). Для (2N+1)-діагональних, комплексних, симетричних матриць вирішені пряма та обернена задачі спектрального аналізу. Для систем многочленів, що пов’язані з п’ятидіагональними, комплексними, ермітовими матрицями, доведені співвідношення ортонормальності на дійсній та уявній осях у комплексній площині, що є характеристичними. Побудовано фундаментальну систему розв’язків відповідного різницевого рівняння 4-го порядку. Для симетричної проблеми моментів з особливістю в нулі одержано критерій розв’язності. З симетричною проблемою моментів пов’язано пару функцій та одержано їх асимптотичні властивості. Доведено умови розв’язності симетричної проблеми моментів. Основні результати можуть бути використані при подальшому теоретичному та практичному дослідженні (2N+1)-діагональних, комплексних, симетричних матриць, в теорії ортогональних многочленів та різних задачах аналізу, зокрема в інтерполяційних задачах.

Основні результати дисертації, що виносяться на захист:

1. Вказано процедуру відтворення різницевого рівняння 2-го порядку з комплексними коефіцієнтами, що відповідає трьохдіагональній, комплексній, симетричній матриці, за спектральною функцією та послідовністю знаків, яка є значно легшою процедури, що була застосована Г.Ш. Гусейновим;

2. Вперше введено поняття спектральної функції для різницевого рівняння (2N)-го порядку, що відповідає (2N+1)-діагональній, комплексній, симетричній матриці. Встановлено необхідні та достатні умови для того, щоб заданий лінійний за обидвами аргументами функціонал, визначений на просторі всіх комплексних многочленів, являвся спектральною функцією різницевого рівняння (2N)-го порядку та вказано процедуру відтворення різницевого рівняння за спектральною функцією та деякою послідовністю знаків;

3. Вперше введено проблему моментів, що пов’язана з п’ятидіагональними, напівнескінченими, ермітовими матрицями і відповідними скалярними многочленами (симетрична проблема моментів з особливістю в нулі) і одержано критерій її розв’язності;

4. Одержано умови розв’язності модифікації симетричної проблеми моментів з особливістю в нулі (симетрична проблема моментів), що показують її зв’язок зі спеціальними класами функцій;

5. Отримано характеристичну властивість многочленів, що пов’язані з п’ятидіагональними, напівнескінченими, комплексними, ермітовими матрицями;

6. Побудовано фундаментальну систему розв’язків різницевого рівняння 4-го порядку, пов’язаного з п’ятидіагональними, напівнескінченими, ермітовими матрицями. При цьому виникають аналоги многочленів 2-го роду.

Публікації.

1. Zagorodniuk S.M. Analog of Favard’s theorem for polynomials connected with difference equation of 4-th order//Serdica Math. Journal.- vol.27.-2001.-P.193-202.

2. Загороднюк С.М. О классе функций, связанном с некоторой проблемой моментов//Матем. физика, анализ, геометрия.-2001.-т.8.-№.3.-С.251-260.

3. Загороднюк С.М. О характеристическом свойстве многочленов, удовлетворяющих разностному соотношению 4-го порядка//Вiсник Харк. унiверситету.- Серiя "Матем., прикл. матем. і мех.".-№.582.-2003.-С.15-25.

4. Zagorodnyuk S.M. On generalized Jacobi matrices and orthogonal polynomials//New York J. Math.-2003.-9.-P.117-136.

5. Zagorodnyuk S.M. Direct and inverse spectral problems for (2N+1)-diagonal, complex, symmetric, non-Hermitian matrices//Serdica Math. Journal.-vol.30.-2004.-P.471-482.

6. Загороднюк С.М. Многочлены, ортогональные на вещественной и мнимой осях в комплексной плоскости//Тезисы докладов Междунар. конференции “Теория функций и математическая физика” посвящ. 100-летию Н.И. Ахиезера.-Харьков.-2001г.-С.107-108.

7. Zagorodnyuk S.M. On generalized Jacobi matrices and orthogonal polynomials//Тезисы докл. конф. "Обратные задачи и нелинейные уравнения".-Харьков.-2002.-С.93-94.

8. Zagorodnyuk S.M. On a moments problem on rays in the complex plane// Тезисы докл. конф. "Мат. анализ и экономика".-Сумы.-2003.-С.58-59.

Анотації.