Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 – математичний аналіз. – Інститут математики НАН України, Київ, 2006.
Дисертацію присвячено дослідженню задачі найкращої рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення множинами неперервних однозначних відображень.
Доведено теореми існування та єдиності елемента найкращого рівномірного наближення неперервного компактнозначного відображення множинами неперервних однозначних відображень, встановлено необхідні, достатні умови та критерії цього елемента, знайдено співвідношення двоїстості, які зводять розглядувану задачу до двоїстих задач на обчислення верхньої межі у просторах та .
Для розв’язання задачі найкращої рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення скінченновимірним чебишовським підпростором однозначних неперервних відображень модифіковано метод січної площини та узагальнено алгоритм Ремеза.
Отримано двосторонні оцінки збіжності побудованих алгоритмів, які можна використати для відшукання найкращого наближення з наперед заданою точністю.
1. Встановлено загальні властивості функціоналу та оператора найкращого рівномірного наближення відображень фіксованою множиною (неперервність функціоналу найкращого рівномірного наближення у випадку довільної апроксимуючої множини, його півадитивність та додатну однорідність у випадку наближення підпростором; однорідність оператора найкращого рівномірного наближення у випадку наближення підпростором, його неперервність у випадку наближення скінченновимірним підпростором).
2. Доведено теореми існування та єдиності екстремального елемента для задачі найкращої рівномірної апроксимації відображення множиною та чебишовського центра компакту лінійного нормованого простору відносно множини цього простору.
3. Встановлено необхідні, достатні умови та критерії екстремальності елемента для величини (7).
4. Введено поняття узагальненої умови Хаара та чебишовського підпростору простору . Для випадку найкращої рівномірної апроксимації відображення скінченновимірним чебишовським підпростором доведено теорему єдиності екстремального елемента для величини (7), узагальнено поняття чебишовського альтернансу та доведено відповідну теорему характеризації екстремального елемента для цієї величини.
5. Для задачі найкращої рівномірної апроксимації опуклою множиною встановлено співвідношення двоїстості, яке зводить цю задачу до двоїстої задачі на обчислення верхньою межі у просторі або ж у просторі .
6. Доведено так звану теорему „про очистку” для випадку скінченновимірної опуклої та замкненої апроксимуючої множини .
7. Модифіковано метод січної площини та узагальнено алгоритм Ремеза для розв’язання задачі найкращої рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення скінченновимірним чебишовським підпростором однозначних неперервних відображень. Отримано двосторонні оцінки збіжності, які можна використати для відшукання величини (7) з наперед заданою точністю.
8. Основні з отриманих у роботі результатів дослідження задачі (7) конкретизовано на випадок задачі відшукання чебишовського центра компакту лінійного нормованого простору відносно множини цього простору. Зокрема, встановлено необхідні, достатні умови та критерії чебишовського центра компакту відносно множини , необхідні, достатні умови та критерії його єдиності; співвідношення двоїстості, яке зводить задачу відшукання чебишовського центра до двоїстої задачі на обчислення верхньої межі у просторі .
Публікації автора:
Гудима У.В. Найкраща рівномірна апроксимація неперервного компактнозначного відображення множинами неперервних однозначних відображень// Укр. мат. журн. – 2005.–57, №12. – С.1601-1619.
Гнатюк Ю.В., Гудима У.В. Критерії екстремального елемента та його єдиності для задачі найкращої рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення множинами однозначних відображень// Доп. НАН України – 2005. – №6. – С.19-23.
Гнатюк В.О., Гнатюк Ю.В., Гудима У.В. Модифікація методу Ремеза на випадок апроксимації компактнозначного відображення// Вісник Київського університету. Серія: фіз.-мат. науки.– 2005.– №3. –С.239-244.
Гнатюк Ю.В., Гудима У.В. Модифікація методу січних площин на випадок апроксимації компактнозначного відображення// Вісник Київського університету. Серія: фіз.-мат. науки. – 2005. – №3. – С.245-250.
Гудима У.В. Найкраща рівномірна апроксимація неперервного компактнозначного відображення скінченновимірним підпростором// Вісник Київського університету. Серія: фіз.-мат. науки. – 2005. – №3.–С.262-267.
Гнатюк Ю.В., Гудима У.В. Задача найкращої рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення скінченновимірним підпростором однозначних неперервних відображень// Проблеми теорії наближення функцій та суміжні питання: Зб. праць Ін-ту математики НАН України. –2004.–Т.1, №1.– С.115-129.
Гнатюк В.О., Гнатюк Ю.В., Гудима У.В. Задача найкращої одночасної апроксимації елементів збіжної послідовності гільбертового простору опуклою множиною// Проблеми теорії наближення функцій та суміжні питання: Зб. праць Ін-ту математики НАН України. –2004.–Т.1, №1. – С.100-114.
Гудима У.В. Задача найкращої рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення множинами неперервних однозначних відображень. – Київ, 2004. – 32с. – (Препр. /НАН України. Ін-т математики; 2004.5).
Гнатюк В.О., Гнатюк Ю.В., Гудима У.В. Модифікація методу січних площин на випадок задачі відшукання чебишовського центра компакту нормованого простору відносно його скінченновимірного чебишовського підпростору// Сучасні проблеми моделювання, прогнозування та оптимізації: Зб. наук. пр. (за матеріалами Всеукраїнської науково-методичної конференції). – Київ – Кам’янець-Подільський: Кам’янець-Подільський держ. ун.-т, 2004. – С.19-28.
Гнатюк В.О., Гнатюк Ю.В., Гудима У.В. Модифікація методу Ремеза на випадок задачі відшукання чебишовського центра компакту нормованого простору відносно його скінченновимірного чебишовського підпростору// Сучасні проблеми моделювання, прогнозування та оптимізації: Зб. наук. пр. (за матеріалами Всеукраїнської науково-методичної конференції). – Київ – Кам’янець-Подільський: Кам’янець-Подільський держ. ун.-т, 2004. – С.29-40.
Гудима У.В. Задача про чебишовський центр компакту нормованого простору відносно його скінченновимірного чебишовського підпростору// Сучасні проблеми моделювання, прогнозування та оптимізації: Зб. наук. пр. (за матеріалами Всеукраїнської науково-методичної конференції). – Київ – Кам’янець-Подільський: Кам’янець-Подільський держ. ун.-т, 2004. – С.41-48.
Гнатюк В.О., Гнатюк Ю.В., Гудима У.В. Питання чебишовського альтернансу та єдиності екстремального елемента для задачі найкращої рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення скінченновимірним підпростором однозначних неперервних відображень// Зб. наук. пр. Кам’янець-Подільського держ. ун-ту. Серія фізико-математична (математика). – Кам’янець-Подільський: Кам’янець-Подільський держ. ун-т, 2005.– Вип.8.–С.16-23.
Гудима У.В. Двоїсті співвідношення для задачі найкращої рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення// Зб. наук. пр. Кам’янець-Подільського держ. ун-ту. Серія фізико-математична (математика). – Кам’янець-Подільський: Кам’янець-Подільський держ. ун-т, 2005. – Вип.8. – С. 41-49.
Гнатюк Ю.В., Гудима У.В. Найкраща рівномірна апроксимація неперервного компактнозначного відображення скінченновимірним підпростором однозначних неперервних відображень// Конференція „Функціональні методи в теорії наближень, теорії операторів, стохастичному аналізі і статистиці II”, присвячена пам’яті А.Я. Дороговцева (1935-2004): Тези доповідей. – К.: Видавничо-поліграфічний центр „Київський університет”, 2004. – С.30.
Гудима У.В. Властивості задачі найкращої рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення множинами однозначних неперервних відображень// Конференція „Функціональні методи в теорії наближень, теорії операторів, стохастичному аналізі і статистиці II”, присвячена пам’яті А.Я. Дороговцева (1935-2004): Тези доповідей. – К.: Видавничо-поліграфічний центр „Київський університет”, 2004. – С.36.
