Анотація до роботи:

Чипурко А. І. Модифіковані методи типу Гаусса-Ньютона розв’язування систем нелінійних рівнянь в сенсі найменших квадратів. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.07 – обчислювальна математика. – Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2001.

Робота присвячена питанням розробки та дослідження нових ефективних алгоритмів розв’язування систем нелінійних алгебраїчних рівнянь в сенсі найменших квадратів. Пропонується модифікація методу Гаусса-Ньютона, побудована на базі методу із збіжністю , рекурсивний аналог методу Гаусса-Ньютона та параметричний метод Гаусса-Ньютона. Для випадків нульової та малої нев’язки сформульовано та доведено теореми типу Коші про збіжність методів та їх різницевих аналогів. Запропоновано та обгрунтовано новий підхід до розв’язування систем рівнянь та нерівностей, що приводить вихідну задачу до послідовності задач безумовної мінімізації і дає можливість застосовувати запропоновані методи. Проведено числовий експеримент на тестових та практичних задачах з розділів систем рівнянь, задач наближення даних та задач математичного програмування.

В дисертаційній роботі

1. запропоновано нову двоточкову модифікацію (4), (5) методу Гаусса-Ньютона розв’язування систем рівнянь в сенсі найменших квадратів. Встановлено умови збіжності та отримано оцінки похибки процесу для задач з нульовою та малою нев’язками. Основним результатом щодо поведінки процесу є те, що порядок збіжності вищий в порівнянні з квадратичним порядком методу Гаусса-Ньютона і становить . Досліджено вплив похибки обчислень на збіжність модифікації (4), (5);

2. запропоновано та досліджено загальну параметричну формулу модифікацій методу Гаусса-Ньютона (9), (10). Сформульовано умови збіжності та отримано оцінки похибки формули та її різницевого аналога для задач з нульовою та ненульовою нев’язками. Досліджено вплив числового параметра на збіжність процесів. Важливим результатом є те, що при відповідному виборі параметра можна отримати збіжність порядку , якщо допоміжний оператор породжує ітераційну формулу порядку . Для випадку малої нев’язки отримано формулу визначення змінного порядку збіжності;

3. запропоновано рекурсивну модифікацію (14) методу Гаусса-Ньютона для випадків нульової та малої нев’язки. Тут при виконанні певних умов та значенні глибини рекурсії , отримано збіжність процесу порядку . Розглянуто питання вибору оптимальної глибини рекурсії. Встановлено залежність глибини рекурсії від розмірності задачі;

4. сформульовано та доведено теореми про збіжність різницевих аналогів запропонованих в роботі методів. Отримано порядки збіжності та оцінки похибки. Встановлено, що порядки збіжності різницевих аналогів не понижується;

5. запропоновано новий підхід розв’язування систем нелінійних рівнянь та нерівностей, базований на застосуванні методу найменших квадратів. Обгрунтовано можливість застосування даного підходу. Формули методів типу Гаусса-Ньютона розв’язування даної задачі представлено в зручному для обчислень вигляді;

6. досліджені методи апробовано на тестових та практичних задачах. Зокрема, розглянуто застосування модифікацій для розв’язування систем рівнянь, задач наближення даних та задач нелінійного програмування. Проведені порівняння та аналіз результатів підтвердили дієвість та ефективність запропонованих в роботі модифікацій.

Публікації автора:

1. Бартіш М. Я., Чипурко А. І., Шахно С. М. Про одну модифікацію методу Гаусса-Ньютона // Вісн. Львів. у-ту. Сер. мех.-мат. -1995. -42. -С.35-38.

2. Бартіш М. Я., Чипурко А. І. Дослідження одного методу розв’язання задачі про найменші квадрати // Волинський математичний вісник. -1997. -4. -С.10-13.

3. Бартіш М. Я., Чипурко А. І. Дослідження одного рекурсивного методу розв’язування задачі про найменші квадрати // Вісн. Львів. у-ту. Сер. мех.-мат. -1997. -46. -С.68-72.

4. Бартіш М. Я., Чипурко А. І. Про одну модифікацію методу Гаусса-Ньютона // Математичні студії. -1998. -10. -№1. -С.85-92.

5. Бартіш М. Я., Николайчук О. В., Чипурко А. І. Про деякі різницеві модифікації методу Гаусса-Ньютона для нелінійної задачі найменших квадратів з малою нормою нев’язки // Вісн. Львів. у-ту. Сер. мех.-мат. -1999. -52. -С.3-8.

6. Бартіш М. Я., Чипурко А. І. Про застосування модифікацій методу Гаусса-Ньютона // Вісн. Львів. у-ту. Сер. прикл. мат. та інформ. -2000. -1. -С .3-7.

7. Бартіш М. Я., Чипурко А. І. Про методи типу Гаусса-Ньютона у випадку задач з малою нев’язкою // Міжнародна конференція з управління “Автоматика-2000” (11-15 вересня 2000 р., м.Львів). Матер. допов. -С.50-54.