Анотація до роботи:

Недашковська А.М. Методи лінеаризації для нелінійних матричних рівнянь. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.07 – обчислювальна математика. – Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2007.

У дисертаційній роботі розглядаються системи матричних рівнянь. Розроблено ефективні алгоритми зведення систем поліноміально-нелінійних матричних рівнянь довільного порядку, заданих над множиною некомутуючих та перестановочних матриць, до задач на власні значення. Запропоновано і досліджено конструктивний метод розв’язування систем алгебраїчних рівнянь, заданих над полем комплексних чисел. Розроблений алгоритм є модифікацією методу матричної лінеаризації і дозволяє отримувати кортежі розв’язків системи на ЕОМ. Проведено оцінку складності методу лінеаризації розв’язування систем алгебраїчних рівнянь, що задані над полем комплексних чисел та запропонованих методів зведення систем поліноміально-нелінійних матричних рівнянь до задач на власні значення. Виконано зворотній аналіз похибок заокруглення для побудованих алгоритмів.

Одержані в роботі результати є важливими для теорії систем алгебраїчних та матричних рівнянь, а також для теорії похибок заокруглення. Вони також можуть бути застосовані при розв’язуванні задач алгебраїчної геометрії, в теорії електромереж, у багатьох задачах фізики ядра, конденсованих середовищ та елементарних часток, а також при аналізі та синтезі лінійних систем автоматизованого управління.

Основні результати виконаної роботи:

1. На основі методу матричної лінеаризації вперше отримано і обгрунтовано ефективні алгоритми зведення систем поліноміально-нелінійних матричних рівнянь довільного порядку, заданих над множиною некомутуючих та перестановочних матриць, до задач на власні значення.

2. Одержано твердження загального характеру для проведення зворотнього аналізу похибок заокруглення в обчислювальних алгоритмах, що складаються із кількох етапів, і застосовано їх для оцінки еквівалентних збурень запропонованих схем матричної лінеаризації.

3. Запропоновано і досліджено конструктивний метод розв’язування систем алгебраїчних рівнянь заданих над полем комплексних чисел. Розроблений алгоритм є модифікацією методу матричної лінеаризації і дозволяє отримувати кортежі розв’язків системи на ЕОМ.

4. Проведено оцінку складності методів лінеаризації розв’язування систем поліноміально-нелінійних алгебраїчних та матричних рівнянь, виконано зворотній аналіз похибок заокруглення для побудованих алгоритмів і встановлено, що еквівалентні збурення співрозмірні з похибками, які виникають при правильному заокругленні вхідних даних.

5. Теоретичне обгрунтування розроблених методів підтверджується обчислювальними експериментами для модельних задач виконаними в середовищі Matlab 7.1. Отримані числові результати порівнювались з результатами, одержаними іншими методами. В ряді випадків встановлено переваги запропонованого методу лінеаризації.

Публікації автора:

1. Недашковская А.Н. Решение полиномиально-нелинейных матричных уравнений методом линеаризации// Кибернетика и системный анализ. – 2006. – №3. – С.60-69.

2. Недашковская А.Н. Решение полиномиально-нелинейных матричных уравнений над кольцом коммутативных матриц методом линеаризации// Компьютерная математика. – 2006. – №1. – С.109-120.

3. Недашковська А.М. Метод лінеаризації для розв’язування поліноміально-нелінійних матричних рівнянь із двома невідомими// Вісник Львів. ун-ту. Серія прикл. матем. та інформ. 2004. №8. С.52-59.

4. Недашковська А.М. Розв’язування поліноміально-нелінійних матричних рівнянь над кільцем комутативних матриць// Конференція молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я.С. Підстригача (24-27 травня 2005 року, Львів). Тези допов. – Львів: ТзОВ „Сплайн”. – 2005. – С.155-156.

5. Недашковська А.М. Алгоритм методу лінеаризації розв’язування поліноміально-нелінійних матричних рівнянь із двома невідомими// Сьома Всеукраїнська (друга міжнародна) студентська наукова конференція з прикладної математики та інформатики (СНКПМІ-2004) (22-23 квітня 2004 року, Львів). Тези допов. – Львів: Видавничий центр ЛНУ імені Івана Франка. – 2004. – С.144.

6. Недашковська А.М. Аналіз стійкості алгоритму матричної лінеаризації для поліноміальних матричних рівнянь// Дванадцята Всеукраїнська наукова конференція „Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики”, присвячена 70-річчю з дня народження проф. Й.В. Людкевича і 30-річчя факультету прикладної математики та інформатики (4-6 жовтня 2005 року, Львів). Тези допов. – Львів: Видавничий центр ЛНУ імені Івана Франка. – 2005. – С.117.

7. Недашковська А.М. Метод лінеаризації для поліноміальних матричних рівнянь// Міжнародна математична конференція ім. В.Я. Скоробагатька (27 вересня -1 жовтня 2004 року, Дрогобич). Тези допов. – Львів: Поліграфічний центр видавництва Національного університету „Львівська політехніка”. – 2004. – С.152.

8. Недашковська А.М. Метод лінеаризації для розв’язування поліноміально-нелінійних матричних рівнянь із двома невідомими// Десята міжнародна конференція імені акад. М.Кравчука (13-15 травня 2004 року, Київ). Тези допов. – Київ: За друга. – 2004. – С.463.

9. Недашковська А.М. Метод лінеаризації для розв’язування поліноміальних матричних рівнянь із багатьма невідомими// Міжнародна конференція „Питання оптимізації обчислень (ПОО-ХХХІІ)”, присвяченої пам’яті академіка В.С. Михалевича (19-23 вересня 2005 року, Крим, Велика Ялта, смт. Кацивелі). – Київ: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України. – 2005. – С.159.