Анотація до роботи:

Качурик I.I. Квантовi та ортогональнi симетрiї в квантовiй теорiї. – Рукопис.

Дисертацiя на здобуття наукового ступеня доктора фiзико-математичних наук за спецiальнiстю 01.04.02 – теоретична фiзика. Iнститут теоретичної фiзики iм. М.М. Боголюбова НАН України. Київ, 2002.

Дисертацiя присвячена розвитку прикладних аспектiв теорiї симетрiй та їх застосуванню у квантовiй фiзицi. Розроблено i використано в задачах квантової теорiї гармонiчний (парцiально-хвильовий) аналiз на узагальнених гiперболоїдi i конусi, група рухiв яких – довiльна напiвпроста некомпактна група. Одержано у явному виглядi узагальненi гiперсферичнi функцiї i iнфiнiтезимальнi оператори ряду вищих груп симетрiй. Розроблено фiзико-прикладнi питання теорiї коефiцiєнтiв Клебша-Гордана (-ККГ) i коефiцiєнтiв Рака (-КР) -деформованої (квантової) групи . Зокрема, знайдено для них -аналоги формул класичних ККГ i КР, повнi групи симетрiй, рiзнi рекурентнi формули, рiзницевi рiвняння другого порядку, асимптотичнi спiввiдношення. Показано, що -ККГ можуть бути отриманi в асимптотицi iз -КР. Знайденi ККГ i КР для двопараметричної квантової групи . Установлено рiзноманiтнi властивостi квантових чисел (-чисел). Визначено спектр, власнi вектори i функцiї перекриття для представимих матрицями Якобi операторiв типу Гамiльтона у незвідних представленнях квантових груп. Розв'язано проблему вкладення -деформованої алгебри у квантову алгебру . Дiстала подальший розвиток теорiя когерентних станiв групи де Сiттера . У рамках релятивiстської квантової теорiї розвинуто формалiзм гармонiчного аналiзу, зв'язаного з моделлю iмпульсного простору постiйної кривизни, групою рухiв якого є . Отримано новi масовi формули в адроннiй фiзицi на основi динамiчної квантової групи .

Ключовi слова: симетрiя, група, незвiднi представлення, парцiально-хвильовi розклади, амплiтуда розсiяння, частинки змiнної маси, коефiцiєнти Клебша-Гордана, коефiцiєнти Рака, узагальненi гiперсферичнi гармонiки, квантова група, квантовий кутовий момент, некомутативна геометрiя, спектри операторiв, когерентнi стани, модифiкований iмпульсний простiр, плоскi хвилi, динамiчна симетрiя, адрони, масове правило сум.

Основнi результати дисертацiї можна сформулювати таким чином.

1. Розвинуто теорiю парцiально-хвильового (гармонічного) аналiзу на узагальненому гiперболоїдi i узагальненому конусi, група рухiв яких є довiльна некомпактна група Лi. У квантовiй фiзицi такi розклади вiдiграють провiдну роль.

На узагальнених гiперболоїдi i конусi теоретико-груповим методом уведено системи координат (сферична, гiперболiчна, орисферична i трансляцiйна), що асоцiюються з рiзними розкладами групи . Показано, що кожна з них зв'язана з дiагоналiзацiєю повного набору комутуючих спостережуваних, яка вiдповiдає цiлком певному ланцюжку пiдгруп групи .

Знайдено спiльнi власнi функцiї повних наборiв спостережуваних. Цi функцiї утворюють повну систему станiв простору представлення групи . В усiх випадках вони представляються у роздiлених змiнних; при цьому власнi значення спостережуваних (квантовi числа) виникають як постiйнi роздiлення, а координати системи – як змiннi роздiлення.

У кожнiй iз розглядуваних систем координат на узагальненому гiперболоїдi i узагальненому конусi знайдено пряму i обернену формули парцiального розкладу хвильової функцiї системи, симетрiя якої описується групою . Зокрема побудовано "плоскi хвилi" на узагальненому гiперболоїдi i дано формули розкладiв по них.

Парцiально-хвильовi розклади на узагальнених гiперболоїдi i конусi представляють собою узагальнення розглянутого парцiально-хвильового аналiзу на 4-вимiрних гiперболоїдi i конусi з групою рухiв . Останнiй застосовано для одержання формул парцiальних розкладiв хвильової функцiї, яка описує скалярнi частинки змiнної маси. Запропоновано застосування таких формул для десiттер-iнварiантної класифiкацiї станiв нестабiльної частинки. Вияснено, що у декартовому базисi на розклад iде по функцiях, якi вiдiграють роль плоских хвиль дiйсного 4-вимiрного простору Лобачевського , який реалiзується як . Це так званi орисферичнi хвилi у 4-просторi .

2. Гармонічний аналiз на гiперболоїдi використано для розкладу по функцiях, зв'язаних з парцiальними хвилями у сферичнiй системi координат на , релятивiстської амплiтуди бiнарної реакцiї розсiяння безспiнових частинок. На основi цього розкладу знайдено вирази для амплiтуд розсiяння частинки i античастинки при великих значеннях енергiї i доведено, що за абсолютною величиною вони рiвнi мiж собою.

3. У канонiчному базисi одержано в явному виглядi узагальненi гiперсферичнi функцiї для вищих груп симетрiй: групи обертань -вимiрного евклiдового простору i -вимiрної групи Евклiда – групи рухiв простору .

Вияснено, що головна задача при цьому полягає у знаходженнi узагальнених гiперсферичних функцiй (аналогiв -функцiй Вiгнера) групи для довiльного класу представлень. (Вони iнтерпретуються як хвильовi функцiї квантовомеханiчної дзиги у -вимiрному просторi). З їх допомогою знаходяться узагальненi гiперсферичнi функцiї групи (а також i -вимiрної групи Лоренца ). Для одержання "дзигових" функцiй запропоновано метод, який грунтується на застосуваннi iнтегрального представлення матричних елементiв основної серiї представлень групи .

Виведено три рiзнi формули, якi виражають узагальнену гiперсферичну функцiю -вимiрної групи Евклiда через звичайну гiпергеометричну функцiю, вироджену гiпергеометричну функцiю двох змiнних i (в окремому випадку) – через функцiю Бесселя, а також формула, яка виражає її через скiнченну суму функцiй Бесселя i -скалярних факторiв коефiцiєнтiв Клебша-Гордана групи .

4. Одержано формули iнфiнiтезимальних операторiв для важливих класiв представлень вищих груп фiзичних симетрiй у неканонiчних базисах.

5. Розвинуто теорiю квантового момента кiлькостi руху в квантовiй (некомутативнiй) геометрiї, що опирається на теорiю представлень квантової групи : розроблено фiзико-прикладнi аспекти теорiї коефiцiєнтiв Клебша-Гордана (-ККГ).

Знайдено рiзнi формули для -ККГ, у тому числi -аналоги вiдомих у фiзицi формул для класичних ККГ. Усi вони представленi через базисну гiпергеометричну функцiю . Для -ККГ отримано рiзнi породжуючi функцiї, рiзницевi рiвняння другого порядку, формула Родрiга. Знайдено повну групу симетрiй цих величин. Вона включає -аналог симетрiї Редже i симетрiї вiдносно "дзеркальних" перетворень.

Виведено два загальнi рекурентнi спiввiдношення для -ККГ i рiзнi тричленнi рекурентнi формули, що зв'язують -ККГ, у яких параметри змiнюються на 1 i на 1/2. Виведено ряд формул, якi є -аналогами вiдомих у квантовiй механiцi асимптотичних формул, зокрема асимптотична формула, яка при виражає звичайнi ККГ через вiдому у фiзицi "малу" -функцiю групи . Виведено формули додавання i множення -полiномiв Кравчука.

Вивчено властивостi -чисел (квантових чисел теорiї квантових груп).

6. У рамках квантової теорiї кутового момента у квантовiй (некомутативнiй) геометрiї розроблено придатний для фiзичних застосувань обчислювальний формалiзм коефiцiєнтiв Рака (-КР) i -символiв.

Одержано явнi формули для -КР, у тому числi -аналоги вiдомих у фiзицi формул для звичайних КР. Усi вони представленi через базисну гiпергеометричну функцiю .

Для -КР одержано асимптотичну формулу, яка при виражає КР групи через -функцiю. Отримано iншi асимптотичнi вирази для -КР – -аналоги вiдомих у квантовiй фiзицi асимптотичних формул Едмондса, Рака, Понзано-Редже. Показано, що в асимптотичнiй границi -КР стають -ККГ. Сформульовано такий результат: тотожнiсть Бiденхарна-Еллiота для -КР, властивостi ортогональностi -КР i -КР iз спiном 1/2 визначають усi -КР i усi -ККГ. Одержано цiлу низку три- i п'ятичленних рекурентних формул для -КР, а з них (в асимптотичнiй границi) – для -ККГ. Виведено рiзницеве рiвняння другого порядку для -символiв, а з нього – для -ККГ.

Виведено формули для коефiцiєнтiв Клебша-Гордана i коефiцiєнтiв Рака двопараметричної квантової групи .

7. Знайдено спектри, власнi вектори i функцiї перекриття для представимих матрицями Якобi операторiв типу Гамiльтона у представленнях груп квантових симетрiй.

Розв'язано спектральну задачу i знайдено власнi вектори операторiв (типу Гамiльтона) вироджених представлень вищих квантових груп , , , , а також симетричних операторiв невироджених представлень квантової групи Лоренца , квантової групи Евклiда , квантової групи евклiдових обертань . Функцiї перекриття векторiв iз рiзних базисiв виражено через -ортогональнi полiноми.

Вивчено проблему спектра i самоспряжених розширень симетричних операторiв представлень квантових груп i . Показано, що при певних умовах замикання необмежених симетричних операторiв представлень цих груп є самоспряженими операторами. При iнших умовах замикання не є самоспряженими i iндекси дефекту операторiв є (1,1). Для деяких операторiв знайдено явно їх власнi вектори.

8. Розв'язано проблему вкладення -деформованої алгебри у квантову алгебру . Для представлень алгебри iз старшими вагами одержано у явному виглядi матрицю переходу вiд канонiчного базису до базису -незвiдних представлень. Виведено формули дiї операторiв алгебри в -базисi.

9. Дiстала подальший розвиток теорiя узагальнених когерентних станiв (КС) для групи де Сiттера .

Запропоновано простий спосiб побудови системи КС для представлень основної серiї групи . Ця система станiв параметризується точками 4-вимiрного дiйсного простору Лобачевського . До них застосовано формули парцiально-хвильових розкладiв для гiперболоїда . "Радiальна" частина "парцiальних хвиль", по яких iде розклад у сферичнiй системi координат на , є розв'язком диференцiального рiвняння, яке зводиться до рiвняння Шредингера для задачi розсiяння на деякому потенцiалi. Знайдено у явному виглядi парцiальну -матрицю для цiєї задачi i визначено точки, у яких вона має полюси.

Вияснено, що розглядуванi КС є "плоскими хвилями" у просторi . Через них (узагальненим перетворенням Фур'є) здiйснюється перехiд до конфiгурацiйного простору, для якого квадратичний оператор Казимiра групи iнтерпретується як оператор квадрата iнтервалу. В асимптотичнiй границi "плоскi хвилi" стають звичайними плоскими хвилями 4-вимiрного евклiдового простору .

Виведено диференцiально-рiзницеве рiвняння (аналог рiвняння Шредингера), якому задовольняють КС як функцiї точок конфiгурацiйного простору, канонiчно-спряженого простору , i запропоновано можливi шляхи його застосування. У плоскiй границi це рiвняння набуває вигляду рiвняння Шредингера для вiльної частинки у просторi .

10. У рамках релятивiської квантової теорiї розвинуто формалiзм гармонiчного аналiзу, зв'язаного з моделлю iмпульсного простору постiйної кривизни (– фундаментальна довжина), група рухiв якого є . Вiн реалiзується як уявний простiр Лобачевського у 4-х вимiрах. Детально проаналiзовано формули розкладу по "плоских (орисферичних) хвилях" на просторi . Установлено, що є два типи цих "хвиль", якi вiдповiдають основнiй i дискретнiй серiям представлень групи рухiв. Показано, що у "класичнiй" границi iз орисферичних хвиль обох типiв для даного представлення групи , одержуються плоскi хвилi протилежних частотностей у звичайному -просторi, якi для неперервної серії вiдповiдають нееквiвалентним представленням групи Пуанкаре, причому рiзним типам хвиль простору вiдповiдають рiзнi областi -простору. Доведено, що у розглядуванiй моделi -простору час неперервний, а конфiгурацiйний простiр – квантований.

11. Квантову групу застосовано як групу динамiчної симетрiї у рамках проблеми опису спектра мас сильно-взаємодiючих елементарних частинок.

Методом динамiчної квантової групи для барiонiв iз -октета, вкладеного у 20-плет "ароматової" групи , отримано явнi, залежнi вiд параметра деформацiї , вирази для мас баріонів, а з них – -залежне масове спiввiдношення. Показано, що при значенні воно зводиться до класичного результату Гел-Мана-Окубо, а при нетривiальному значеннi параметра деформацiї дає нове правило сум, емпiрична точнiсть якого майже утричi краща, нiж точнiсть правила сум Гел-Мана-Окубо.

Знайдено, що в усiх розглянутих допустимих представленнях динамiчної квантової групи виконується одне й те ж -залежне спiввiдношення (правило -еквiдистантностi) для барiонних мас iз -декуплета, вкладеного у 20-плет квантової групи .

Публікації автора:

1. Климык А.У., Качурик И.И. Вычислительные методы в теории представлений груп. – К.: Вища школа, 1986. – 224 с.

2. Качурик И.И. Асимптотические соотношения в q-аналоге квантовой теории углового момента // Укр. физ. журн. – 1992. –Т. 37, №2. – C. 294-303.

3. Groza V.A., Kachurik I.I., Klimyk A.U. -Deformed Euclidean algebras and their representations // Теорет. и мат. физ. – 1995. – Т. 103, №3. – C. 467-475.

4. Kachurik I.I., Klimyk A.U. Matrix elements for the representations of and // Reports on Math. Phys. – 1984. – Vol. 20, №3. – P.49-62.

5. Качурик И.И., Климык А.У. Матричные элементы представлений группы // Докл. АН УССР. Сер. физ. мат. и техн. наук. –1981. – №5. – C. 8-11.

6. Kachurik I.I., Klimyk A.U. On Racah coefficients of the quantum algebra // J. Phys. A: Math. Gen. – 1990. – Vol. 23. – P. 2717-2728.

7. Kachurik I.I., Klimyk A.U. Infinitesimal operators of group representations in non-canonical bases // J. Math. Phys. – 1988. – Vol. 29, №11. – P. 2377-2383.

8. Качурик И.И. О матричных элементах унитарных неприводимых представлений группы // Укр. мат. журн. – 1983. – Т.35, №1. – С. 91-94.

9. Гроза В.А., Качурик I.I. Теореми додавання та множення -многочленiв Кравчука, Хана i Рака // Доп. АН УРСР. Сер. фiз.-мат. та техн. наук. – 1990. – №5. – C. 3-6.

10. Groza V.A., Kachurik I.I., Klimyk A.U. On matrix elements and Clebsch- Gordan coefficients of the quantum algebra // J. Math. Phys. – 1990. – Vol. 31, №12. – P.2769-2780.

11. Kachurik I.I., Klimyk A.U. General recurence ralations for Clebsch-Gordan coefficients of the quantum algebra // J. Phys. A: Math. Gen. – 1991. – Vol. 24. – P. 4009-4015.

12. Kachurik I.I., Klimyk A.U. Representations of the q-deformed algebras , and -orthogonal polynomials // Доп. НАН України. Сер. фiз.-мат. та техн. наук. – 1993. – №6. – C. 42-45.

13. Kachurik I.I., Klimyk A.U. Operator spectra for quantum algebras and -ortho-gonal polynomials //Algebras, groups and geometries. – 1994. – Vol. 11, № 3. – P. 229-252.

14. Kachurik I.I., Klimyk A.U. Representations of the q-deformed algebra // J.Phys. A: Math. Gen. – 1994. – Vol. 27. – P.7087-7097.

15. Gavrilik O.M., Kachurik I.I., Tertychnyj A.B. Baryon decuplet masses from the viewpoint of -equidistance // Укр. фiз. журн. – 1995. – Т.40, №7. – C.645-649.

16. Klimyk A.U., Kachurik I.I. Spectra, eigenvectors and overlap functions for representation operators of -deformed algebras // Commun. Math. Phys. – 1996. – Vol. 175. – P. 89-111.

17. Kachurik I.I. Representations of -deformed Euclidean algebra and spectra of their operators // J. Nonlin. Math. Phys. – 1997. – Vol.4, №4. – P.516-524.

18. Качурик I.I. -Числа i ортогональнi многочлени // Вiсник державного унiвер-ситету "Львiвська полiтехнiка" (Прикладна математика). – 1998. – №337. – C. 216-219.

19. Качурик I.I. -Числа квантових алгебр, числа Фiбоначчi i ортогональнi многочлени // Укр. мат. журнал. – 1998. – Т.50, №8. – C. 1055-1063.

20. Качурик I.I. Тричленнi рекурентнi спiввiдношення для коефiцiєнтiв Рака квантової алгебри // Науковий вiсник Ужгородського унiверситету (Серiя: Фiзика). – 2000. – №6. – C. 182-190.

21. Качурик I.I. Рoзклади хвильової функцiї частинки змiнної маси по незвiдних представленнях групи де Сiттера (редукцiя ) // Науковий вiсник Ужгородського унiверситету (Серiя: Фiзика). – 2002. – №7. – С. 52-57.

22. Kachurik I.I., Klimyk A.U. The embedding // J. Phys. A: Math. Gen. – 2001. – Vol. 34. – P.793-805.

23. Gavrilik O.M., Kachurik I.I. Quantum groups as flavor symmetries, diquark-quark model, and the Cabibbo angle // Укр. фіз. журн. – 2003. – Т.48, №6. – С. 513-517.

24. Iorgov N.Z., Kachurik I.I. On symmetries in (2+1)-dimensional quantum gravity // Укр. фiз. журн. – 2002. – Т.47, №6. – С. 519-524.

25. Kachurik I.I., Klimyk A.U. Representation matrix elements for the groups and : Prepr. /AS Ukraine. Jnt. Theor. Phys.; ITP-79-147E. – K.: 1979. – 42 p.

26. Качурик И.И., Климык А.У. Инфинитезимальные операторы представлений групп и в -базисе: Препр. / АН Украины. Ин.-т. теорет. физики; ИТФ-82-45 Р. – К.: 1982. – 24 р.

27. Kachurik I.I., Klimyk A.U. On Clebsch-Gordan coefficients of quantum algebra : Prepr. / AS Ukraine. Int. Theor. Phys.; ITP-89-48E. – K.: 1989. – 28 p.

28. Groza V.A., Kachurik I.I., Klimyk A.U. The quantum algebra and basic hy-pergeometric functions: Prepr./AS Ukraine. Jnt. Theor. Phys.;ITP-89-51E.–K.:1989.–32 p.

29. Качурик И.И. Рекурентные соотношения для коэффициентов Клебша-Гордана и коэффициентов Рака квантовой алгебры : Препр. / АН Украины. Ин-т теорет. физики; ИТФ-90-37Р.– К.: 1990. – 28 с.

30. Kachurik I.I., Klimyk A.U. Asymptotic properties of Clebsch-Gordan and Racah coefficients of the quantum algebra : Prepr. / AS Ukraine. Int. Theor. Phys.; ITP-90-7E. – K.: 1990. – 24 p.

31. Gavrilik O.M., Kachurik I.I., Klimyk A.U. Deformed orthogonal and pseudoorthogonal Lie algebras and their representations: Prepr. / AS Ukraine. Int. Theor. Phys.; ITP-90-26E. – K.: 1990. – 17p.

32. Kachurik I.I., Klimyk A.U. Spectra of representation operators of -deformed algebras and -orthogonal polynomials: Prepr. / AS Ukraine. Int. Theor. Phys.; ITP-93-3E. – K.: 1993. – 37 p.

33. Kachurik I.I. Clebsch-Gordan and Racah coefficients of : Prepr. / AS Ukraine. Int. Theor. Phys.; ITP-93-45E. – K.: 1993. – 8 p.

34. Gavrilik O.M., Kachurik I.I., Tertychnyj A.V. Representations of and a -polynomial defining baryon mass relations: Prepr. / AS Ukraine. Int. Theor. Phys.; ITP-94-34E. – K.: 1994. – 14 p.

35. Качурик И.И. Разложение волновой функции состояния переменной массы по неприводимым представлениям однородной группы де Ситтера // Труды Международной конференции "Теория представлений и групповые методы в физике". – М.: Наука. – 1990. - С. 251-262.

36. Klimyk A.U., Kachurik I.I. Spectra of representation operators for quantum algebra // Proc. Int. Workshop on Finite Dimensional Integrable Systems / Ed. by A.N. Sissakian, G.S. Pogosyan. – Dubna: JINR, 1995. – P. 104-111.

Качурик I.I. Квантовi та ортогональнi симетрiї в квантовiй теорiї. – Рукопис.

Дисертацiя на здобуття наукового ступеня доктора фiзико-математичних наук за спецiальнiстю 01.04.02 – теоретична фiзика. Iнститут теоретичної фiзики iм. М.М. Боголюбова НАН України. Київ, 2002.

Дисертацiя присвячена розвитку прикладних аспектiв теорiї симетрiй та їх застосуванню у квантовiй фiзицi. Розроблено i використано в задачах квантової теорiї гармонiчний (парцiально-хвильовий) аналiз на узагальнених гiперболоїдi i конусi, група рухiв яких – довiльна напiвпроста некомпактна група. Одержано у явному виглядi узагальненi гiперсферичнi функцiї i iнфiнiтезимальнi оператори ряду вищих груп симетрiй. Розроблено фiзико-прикладнi питання теорiї коефiцiєнтiв Клебша-Гордана (-ККГ) i коефiцiєнтiв Рака (-КР) -деформованої (квантової) групи . Зокрема, знайдено для них -аналоги формул класичних ККГ i КР, повнi групи симетрiй, рiзнi рекурентнi формули, рiзницевi рiвняння другого порядку, асимптотичнi спiввiдношення. Показано, що -ККГ можуть бути отриманi в асимптотицi iз -КР. Знайденi ККГ i КР для двопараметричної квантової групи . Установлено рiзноманiтнi властивостi квантових чисел (-чисел). Визначено спектр, власнi вектори i функцiї перекриття для представимих матрицями Якобi операторiв типу Гамiльтона у незвідних представленнях квантових груп. Розв'язано проблему вкладення -деформованої алгебри у квантову алгебру . Дiстала подальший розвиток теорiя когерентних станiв групи де Сiттера . У рамках релятивiстської квантової теорiї розвинуто формалiзм гармонiчного аналiзу, зв'язаного з моделлю iмпульсного простору постiйної кривизни, групою рухiв якого є . Отримано новi масовi формули в адроннiй фiзицi на основi динамiчної квантової групи .

Ключовi слова: симетрiя, група, незвiднi представлення, парцiально-хвильовi розклади, амплiтуда розсiяння, частинки змiнної маси, коефiцiєнти Клебша-Гордана, коефiцiєнти Рака, узагальненi гiперсферичнi гармонiки, квантова група, квантовий кутовий момент, некомутативна геометрiя, спектри операторiв, когерентнi стани, модифiкований iмпульсний простiр, плоскi хвилi, динамiчна симетрiя, адрони, масове правило сум.