Анотація до роботи:

Пташник Б. Й. Задача типу Діріхле для гіперболічних рівнянь із сталими коефіцієнтами//Укр. мат. журн. - 1970. - 22, N 6. -- С. 829 --836.

У пiдроздiлi 5.2 в областi для рівняння

(19)

дослiджено задачу з умовами (9) та умовами

(20)

де оператор -- строго гіперболічний за Петровським в області ; самоспряжений, еліптичний в області диференціальний вираз, визначений формулою (10); функція визначена і неперервна за змінною та досить гладка за в області де розв'язок задачі з умовами (9), (20) для лінійного рівняння

Позначимо через додатні корені рівняння які є дійсними та різними. Розглянемо задачу (9), (19), (20) при

Теорема 5.6. Нехай виконуються умови

та існує додатня стала така, що для всіх (крім скінченного числа) значень справджуються нерівності

(21)

Якщо , де і для всіх то існує єдиний розв'язок задачі (9), (19), (20) при з простору який неперервно залежить від .

Встановлено (теорема 5.7), що для майже всіх (стосовно міри Лебега в ) чисел та для довільних фіксованих нерівності (21) виконуються при для всіх (крім скінченного числа)

Розглянемо задачу (9), (19), (20) при Якщо в області ряд

(22)

є рівномірно збіжним і сума цього ряду, то задача (9), (19), (20) зводиться до еквівалентного їй нелінійного інтегрального рівняння

однозначна розв'язність якого встановлюється на основі принципу Качополі-Банаха.

Доведено (лема 5.2), що якщо то ряд (22) збігається рівномірно в області для майже всіх чисел

Теорема 5.8. Нехай виконуються умови теореми 5.6 і функція неперервна за та має обмежені похідні за змінними до порядку включно, причому для довільних і справджуються умови

Якщо то для майже всіх (стосовно міри Лебега в ) чисел та для достатньо малих існує єдиний розв'язок задачі (9), (19), (20), який належить кулі і неперервно залежить від

У пiдроздiлi 5.3 результати пiдроздiлу 5.1 перенесено на випадок систем слабконелiнiйних рiвнянь. В області коло одиничного радіуса, розглянуто задачу з умовами вигляду (13) для системи рiвнянь

(23)

де одинична матриця, матриці з дійсними сталими елементами, функція визначена і неперервна за змінною та досить гладка за в області розв'язок незбуреної задачі (13), (23); система рівнянь (23) строго гіперболічна за Петровським. Позначимо через додатні корені рівняння

Теорема 5.11. Нехай числа є ірраціональними, а функція неперервна за і має обмежені похідні за змінними до 4-го порядку включно в областi Тодi для майже всіх (стосовно міри Лебега в ) чисел і для досить малих існує єдиний розв'язок задачі (13), (23), який належить кулі і неперервно залежить від

У пiдроздiлi 5.4 в областi для cистеми рiвнянь

(24)

розглядається задача з умовами вигляду (9), (13), де одинична матриця, матриці з дійсними сталими елементами; диференцiальний вираз iз задачi (19), (20); функція визначена і неперервна за та досить гладка за в області де розв'язок задачі з умовами (9), (13) для лінійного рівняння система (24) строго гіперболічна за Петровським в області

Позначимо через додатні корені рівняння

Встановлено (теорема 5.12), що для єдиності розв'язку задачі (9), (13), (24) при у просторі необхідно й досить, щоб виконувались умови

(25)

Теорема 5.13. Нехай виконуються умови (25) та існує стала така, що для всіх (крім скінченного числа) виконуються нерівності

Якщо то існує єдиний розв'язок задачі (9), (13), (24) при з простору який неперервно залежить від

Теорема 5.14. Нехай виконуються умови теореми 5.13 і нехай функція неперервна за і має обмежені похідні за змінними до порядку в області причому для довільних і справджуються умови

Якщо то для майже всіх (стосовно міри Лебега в ) чисел і для достатньо малих , існує єдиний розв'язок задачі (9), (13), (24), який належить до кулі і неперервно залежить від

ВИСНОВКИ

Дисертацiйна робота присвячена дослідженню задач з крайовими та двоточковими умовами за виділеною змiнною та певними умовами за просторовими координатами для деяких класів рівнянь та систем рівнянь із частинними похідними високого порядку у цилiндричних областях.

У дисертацiйній роботі отримано такі нові результати:

1. Встановлено умови існування, єдиності та неперервної залежності від вихідних даних розв'язків задач з даними на всiй границi областi для лiнiйних безтипних рiвнянь з частинними похідними зi сталими та змiнними коефiцiєнтами.

2. Досліджено крайові задачі з умовами типу умов Дiрiхле для рiвнянь та систем рiвнянь з частинними похідними, не розв'язаних вiдносно старшої похiдної за часовою змінною, без обмежень на порядок оператора диференцiювання за при старшiй похiднiй за часом.

3. Встановлено умови однозначної розв'язності крайових задач для слабконелiнiйних гiперболiчних рiвнянь та систем рiвнянь зi сталими та змiнними за просторовими координатами коефiцiєнтами.

4. Конструктивно побудовано розв'язки лінійних задач у вигляді рядiв за системами ортогональних функцiй.

5. Доведено метричнi твердження про оцiнки знизу малих знаменникiв, які виникають при

побудові розв'язків розглядуваних задач.

Результати роботи мають теоретичний характер. Їх можна використати при подальших дослідженнях задач з даними на всiй границi областi для лінійних та нелінійних рівнянь з частинними похідними, а також в конкретних прикладних задачах, моделями яких є розглянуті в дисертації задачі.

СПИСОК ОПУБЛIКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦIЇ

1. Бiлусяк Н. I. Крайова задача для безтипних диференцiальних рiвнянь iз частинними похiдними зi змiнними коефіцієнтами//Вiсник нацiонального унiверситету "Львiвська полiтехнiка". Прикладна математика. -2000.- № 441. -С. 30 - 35.

2. Бiлусяк Н. I. Крайова задача для гiперболiчного рiвняння, збуреного нелiнiйним iнтегро-диференцiальним оператором //Вiсник державного унiверситету "Львiвська полiтехнiка".Прикладна математика. -1998. - 1, № 337. - С. 76 - 79.

3. Бiлусяк Н. I., Пташник Б. Й. Крайова задача з даними на всiй границi областi для слабконелiнiйних гiперболiчних рiвнянь//Укр.мат.журн. - 2001. - 53, №2. - С. 244 - 249.

4. Бiлусяк Н. I., Пташник Б. Й. Крайова задача для слабконелiнiйних гiперболiчних рiвнянь зi змiнними коефіцієнтами//Укр.мат.журн. - 2001. - 53, №9. - С. 1281 - 1286.

5. Бiлусяк Н. I., Комарницька Л. I., Пташник Б. Й. Задача типу Дiрiхле для систем рiвнянь iз частинними похiдними не розв'язаних вiдносно старшої похiдної за часом//Укр.мат.журн. - 2002. - 54, №12. - С. 1592 - 1602.

6. Бiлусяк Н. I., Пташник Б. Й. Крайова задача для систем слабконелiнiйних гiперболiчних рiвнянь зi змiнними коефiцiєнтами//Мат. методи та фiз.-мех. поля. - 2001. - 44, №4. - С. 40 - 46.

7. Бiлусяк Н. I., Пташник Б. Й. Крайова задача для систем слабконелiнiйних гiперболiчних рiвнянь//Нелинейные граничные задачи. - 2002. - №12. - С. 26 - 31.

8. Бiлусяк Н. I., Пташник Б. Й. Задача з умовами типу умов Дiрiхле для слабконелiнiйних гiперболiчних рiвнянь//Вiсник Прикарпатського унiверситету. Математика. Фiзика. Хiмiя. - 1999. - Вип.1. - С. 22 - 32.

9. Бiлусяк Н. I., Пташник Б. Й. Крайова задача з умовами типу умов Дiрiхле для диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними зi сталими коефіцієнтами//Мiжнародна наукова конференцiя "Сучаснi проблеми математики". Матерiали конференцiї. Чернiвцi - Київ, 1998. - С. 56 - 58.

10. Бiлусяк Н. I., Пташник Б.Й. Крайова задача для лiнiйних гiперболiчних рiвнянь зi змiнними коефіцієнтами//Міжнародна наукова конференція "Диференцiальнi рiвняння i нелiнiйнi коливання" 27 - 29 серпня 2001 р., Чернiвцi, 2001. - С.16 - 17.

11. Бiлусяк Наталiя. Крайова задача для диференцiальних рiвнянь зi сталими коефiцiєнтами, не розв'язаних вiдносно старшої похiдної за часом// Мiжнародна наукова конференцiя "Новi пiдходи до розв'язування диференцiальних рiвнянь" 1 - 5 жовтня 2001 р., Дрогобич, 2001. - С.19.

12. Bilusyak N., Ptashnyk B. Boundary value problem of Dirichlet's type for quasilinear hyperbolic equations//International Conference "Nonlinear partial differential equations" Dedicated to J. P. Schauder. Books of abstract. Lviv, August 23 - 29, 1999, P. 25.

13. Ptashnyk B. Yo., Bilusyak N. I.The boundary value problem for systems of weakly nonlinear hyperbolic equations //International Conference "Nonlinear partial differential equations".Books of abstracts. Kyiv, August 22 - 28, 2001, P. 34.

АНОТАЦIЯ

Бiлусяк Н. I. Крайовi задачi для лiнiйних i слабконелiнiйних гiперболiчних та безтипних рiвнянь у цилiндричних областях. - Рукопис.

Дисертацiя на здобуття наукового ступеня кандидата фiзико-математичних наук за спецiальнiстю 01.01.02 - диференцiальнi рiвняння. Львівський національний університет імені Івана Франка. Львів, 2003.

У дисертацiї розглянуто задачi з умовами типу умов Дiрiхле за виділеною змiнною t та певними умовами за рештою координат для деяких класiв рiвнянь та систем рiвнянь з частинними похiдними у цилiндричних областях. Встановлено умови коректностi та побудовано розв'язки таких задач для певних класiв лінійних безтипних рівнянь та систем рівнянь. Встановлено умови однозначної розв'язності крайових задач для слабконелiнiйних гiперболiчних рiвнянь та систем рiвнянь. Доведено новi метричнi твердження про оцiнки знизу малих знаменникiв, які виникають при дослідженні та побудові розв'язків розглянутих задач.