Анотація до роботи:

Кутнів М.В. Компактні різницеві схеми високого порядку точності для нелінійних звичайних диференціальних рівнянь. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.07 – обчислювальна математика. Інститут математики НАН України, Київ, 2007.

Дисертаційна робота присвячена побудові та обґрунтуванню компактних різницевих схем високого порядку точності для розв’язування крайових задач на скінченному відрізку та півосі для нелінійних звичайних диференціальних рівнянь та їх систем. У зв’язку з нелінійністю крайових задач та різницевих схем за основу брався як метод лінеаризації і принцип стискаючих відображень, так і метод монотонних операторів. Побудовано точні компактні різницеві схеми, коефіцієнти та права частина яких у кожному вузлі сітки виражаються через розв’язки додаткових задач Коші для звичайних диференціальних рівнянь на інтервалі довжиною в один крок. Доведено існування та єдиність їх розв’язку, збіжність ітераційного методу послідовних наближень для його знаходження. Розроблено ефективні алгоритмічні реалізації точних схем через відсічені компактні різницеві схеми довільного порядку точності. Доведено існування та єдиність розв’язку, отримано оцінки точності відсічених компактних різницевих схем. Доведено збіжність та дано оцінки точності ітераційних методів (послідовних наближень, Ньютона) для знаходження їх розв’язку. Ефективність запропонованих підходів ілюструється на чисельних прикладах.

В дисертаційній праці побудовано точні компактні різницеві схеми та компактні різницеві схеми високого порядку точності для чисельного розв’язування крайових задач для нелінійних звичайних диференціальних рівнянь.

Основні результати:

1. Побудовано точну триточкову різницеву схему для нелінійних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку з крайовими умовами першого та третього роду на нерівномірній сітці. Отримано достатні умови існування та єдиності розв’язку цієї схеми, а також доведено збіжність ітераційного методу послідовних наближень для його знаходження.

2. Розроблено нову ефективну алгоритмічну реалізацію точних триточкових різницевих схем через відсічені триточкові різницеві схеми довільного порядку точності. Доведено існування та єдиність їх розв’язку, дано оцінку точності. Доведено збіжність методу послідовних наближень та Ньютона для знаходження розв’язку триточкових різницевих схем.

3. Доведено існування точної двоточкової різницевої схеми для систем нелінійних диференціальних рівнянь першого порядку, а також існування та єдиність її розв’язку. Доведено збіжність та отримано оцінку точності ітераційного методу послідовних наближень для розв’язування цієї схеми.

4. Побудовано двоточкові різницеві схеми високого порядку точності. Доведено існування та єдиність їх розв’язку, отримано оцінку точності. Доведено збіжність та отримано оцінку точності ітераційного методу послідовних наближень для знаходження розв’язку двоточкових різницевих схем. Доведено стійкість двоточкових різницевих схем.

5. Поширено та обгрунтовано точні триточкові різницеві схеми на системи нелінійних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку з монотонним оператором.

6. Поширено та обгрунтовано триточкові різницеві схеми довільного порядку точності на системи нелінійних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку.

7. Отримано достатні умови існування та єдиності розв’язку крайової задачі на півосі для нелінійних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку.

8. Побудовано точну триточкову різницеву схему на скінченній нерівномірній сітці з точною крайовою умовою в граничному вузлі сітки для розв’язування нелінійних крайових задач на півосі.

9. Розроблено ефективну реалізацію точних триточкових різницевих схем через відсічені триточкові різницеві схеми довільного порядку точності. Доведено існування та єдиність розв’язку відсічених триточкових різницевих схем та отримано оцінку точності, а також доведено збіжність методу послідовних наближень для розв’язування триточкових різницевих схем.

10. Розроблено новий алгоритм чисельного розв’язування крайових задач на півосі з заданою точністю та автоматичним вибором точок сітки за допомогою триточкових різницевих схем.

11. Наведено результати чисельних експериментів, які підтверджують теоретичні висновки, а також результати порівняння розроблених різницевих схем з методом багаторазової стрільби, які ілюструють ефективність запропонованого підходу.

12. Виділено клас задач, для яких запропоновані різницеві схеми є ефективнішими, ніж існуючі чисельні методи.

Публікації автора:

1. Бєлов Ю. А., Гординський Л. Д., Кутнів М. В. Дослідження нелінійних математичних моделей перенесення протонів у системах з водневим зв’язком // Вісник Київського університету. Сер. фіз.–мат. науки. – 2003. – Вип. 1. – С. 59 – 68.

2. Бєлов Ю. А., Гординський Л. Д., Кутнів М. В. Про існування розв’язків нелінійної моделі переносу протонів у системах з водневим зв’язком // Вісник Київського університету. Сер. фіз.–мат. науки. – 2003. – Вип. 3. – С. 91 – 95.

3. Гарматій Г., Кутнів М., Попович В. Числове розв’язування нестаціонарних задач теплопровідності термочутливих тіл при складному теплообміні // Машинознавство. – 2002. – № 1 (55). – С. 21 – 25.

4. Гнатів Б. В., Кутнів М. В., Максимів Є. М. Алгоритм реалізації однокрокових дробово–раціональних чисельних методів розв’язування систем звичайних диференціальних рівнянь // Вісник ДУ “Львівська політехніка”. Диференціальні рівняння та їх застосування. – 1995. – № 286. – С. 37 – 39.

5. Гнатів Л. Б., Кутнів М. В. Модифіковані триточкові різницеві схеми високого порядку точності для монотонних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку з похідною у правій частині // Доп. НАН України. – 2004. – № 2. – С. 23 – 29.

6. Гнатів Л. Б., Кутнів М. В. Модифіковані триточкові різницеві схеми високого порядку точності для систем звичайних диференціальних рівнянь другого порядку з монотонним оператором // Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 2004.– Т. 47, № 1. – С. 32 – 42.

7. Гнатів Л. Б., Кутнів М. В. Точні триточкові різницеві схеми на нерівномірній сітці для систем звичайних диференціальних рівнянь з монотонним оператором // Вісник Львівського університету. Серія прикладна математика та інформатика. – 2004. – Вип. 8. – C. 14 – 22.

8. Кутнив М. В., Макаров В. Л., Самарский А. А. Точные трехточечные разностные схемы для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка и их реализация // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. – 1999. – Т. 39, № 1. – С. 45 – 60.

9. Кутнив М. В. Точные трехточечные разностные схемы для монотонных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка и их реализация // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. – 2000. – Т. 40, № 3. – С. 387 – 401.

10. Кутнив М. В. Трехточечные разностные схемы высокого порядка точности для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. – 2001. – Т. 41, № 6. – С. 909 – 921.

11. Кутнив М. В. Трехточечные разностные схемы высокого порядка точности для систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с монотонным оператором // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. – 2002. – Т. 42, № 5. – С. 754 – 768.

12. Кутнів М. В. Точні триточкові різницеві схеми на нерівномірній сітці для монотонних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку // Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 2003. – Т. 46, № 2. – С. 42 – 50.

13. Кутнів М. В. Модифіковані триточкові різницеві схеми високого порядку точності для монотонних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку // Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 2003. – Т. 46, № 4. – С. 120 – 129.

14. Кутнів М. В. Триточкові різницеві схеми високого порядку точності для нелінійних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку з крайовими умовами третього роду // Вісник Львівського університету. Серія прикладна математика та інформатика. – 2002. – Вип. 4. – С. 61 – 66.

15. Кутнів М. В. Про точність триточкових різницевих схем -го рангу для нелінійних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку // Вісник Львівського університету. Серія прикладна математика та інформатика. – 2000. – Вип. 2. – С. 43 – 49.

16. Кутнів М. В. Чисельне розв’язування триточкових різницевих схем -го порядку точності // Вісник Львівського університету. Серія прикладна математика та інформатика. – 2003. – Вип. 6. – C. 68 – 73.

17. Кутнів М. В. Ефективний екстраполяційний метод розв’язування жорстких систем звичайних диференціальних рівнянь // Вісник держ. ун-ту “Львівська політехніка”. Прикладна математика. – 1996. – № 299. – С. 92– 95.

18. Кутнів М. В. Існування точних триточкових різницевих схем для монотонних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку // Вісник держ. ун-ту “Львівська політехніка”. Прикладна математика. – 1998. – № 337. – С. 340 – 343.

19. Кутнів М. В. Триточкова різницева схема пятого порядку точності розвязування нелінійних крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь другого порядку // Вісник держ. ун-ту “Львівська політехніка”. Прикладна математика. – 1998. – № 341. – С. 157 – 161.

20. Кутнів М. В. Триточкові різницеві схеми високого порядку точності розвязування нелінійних монотонних крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь // Вісник держ. ун-ту “Львівська політехніка”. Прикладна математика. – 1999. – № 364. – С. 114 – 120.

21. Кутнів М. В. Про реалізацію точних триточкових різницевих схем для монотонних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку // Вісник нац. ун-ту “Львівська політехніка”. Прикладна математика. – 2000. – № 407. – С. 123 – 129.

22. Gavrilyuk I. P., Hermann M., Kutniv M. V., and Makarov V. L. Difference schemes for nonlinear BVPs using Runge-Kutta IVP-solvers // Advances in Difference Equations, Volume 2006, Article ID 12167, P.1 – 27.

23. Gavrilyuk I. P., Hermann M., Kutniv M. V., and Makarov V. L. Difference schemes for nonlinear BVPs on the semiaxis // Computational Methods in Applied Mathematics (CMAM). – 2007. – Vol. 7, No. 1. – P. 25 – 47.

24. Gnativ L. B., Kutniv M. V. Modified of three-point difference schemes of high–accuracy order for second order monotone ordinary differential equations with derivative in right-hand

side // Журнал обчисл. прикл. матем. – 2003. – Вип. 1. – С. 43 – 65.

25. Kutniv M.V. Modified of three-point difference schemes of high-accuracy order for second order nonlinear ordinary differential equations // Computational Methods in Applied Mathematics (CMAM). – 2003. – Vol. 3, No. 2. – P. 287 – 312.

26. Makarov V. L., Gavrilyuk I. P., Kutniv M. V., Hermann M. A two-point difference scheme of arbitrary given accuracy order for BVPs for systems of first order nonlinear ODEs // Computational Methods in Applied Mathematics (CMAM). – 2004. – Vol. 4, No. 4. – P. 464 – 493.

27. Makarov V. L., Gavrilyuk I. P., Kutniv M. V., Hermann M. A two-point difference scheme of arbitrary given accuracy order for BVPs for systems of first order nonlinear ODEs / Jenaer schriften zur mathematik und informatik. Eingag: 03.03. – 2003. – P. 1 – 24.

28. Gavrilyuk I. P., Hermann M., Kutniv M. V. and Makarov V. L. Variable order difference schemes for nonlinear two-point BVPs. Technical Report / Friedrich Schiller University Jena, Department of Mathematics and Computer Science; 05-15, 2005– P. 1 – 25.

29. Gavrilyuk I. P., Hermann M., Kutniv M. V., Makarov V. L. Three-point difference schemes of variable order for nonlinear BVPs on the half-axis. Technical Report / Friedrich Schiller University Jena, Department of Mathematics and Computer Science; 05-04, 2005. – P. 1 – 37.

30. Gavrilyuk I. P., Hermann M., Kutniv M. V., Makarov V. L. New methods for nonlinear BVPs on the half-axis using Runge-Kutta IVP-solvers. Technical Report / Friedrich Schiller University Jena, Department of Mathematics and Computer Science; 05-18, 2005. – P. 1 – 37.

31. Гаврилюк І. П., Герман М., Кутнів М. В., Макаров В. Л. Триточкові різницеві схеми високого порядку точності для нелінійних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку на півосі // Тези доповідей міжнародної конференції “Проблеми чисельного аналізу і прикладної математики”. – Львів: “Сколом”, 2004. – С. 14 – 15.

32. Гаврилюк І. П., Герман М., Кутнів М. В., Макаров В. Л. Модифіковані двоточкові різницеві схеми високого порядку точності для нелінійних систем звичайних диференціальних рівнянь першого порядку // Тези доповідей XII Всеукраїнської наукової конференції “Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики” – Львів: Видавничий центр ЛНУ ім. Івана Франка, 2005. – С. 53.

33. Гнатів Л. Б., Кутнів М. В. Точні триточкові різницеві схеми високого порядку точності для монотонних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку з похідною у правій частині // Тези доповідей дев’ятої Всеукраїнської наукової конференції “Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики” – Львів: Видавничий центр ЛНУ ім. Івана Франка, 2002. – С. 31 – 32.

34. Гнатів Л. Б., Кутнів М. В. Точні триточкові різницеві схеми на нерівномірній сітці для систем звичайних диференціальних рівнянь з монотонним оператором // Матеріали Всеукраїнської наукової конференції “Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики” – Львів: Видавничий центр ЛНУ ім. Івана Франка, 2003. – С. 44.

35. Гнатів Л. Б., Кутнів М. В. Модифіковані триточкові різницеві схеми високого порядку точності для систем звичайних диференціальних рівнянь з монотонним оператором // Тези доп. наукової конференції проф.-викл. складу Ін-ту прикладної мат. та фунд. наук. – Львів: Видавництво НУ “Львівська політехніка”, 2003. – С. 33.

36. Гнатів Л., Кутнів М. Модифіковані триточкові різницеві схеми високого порядку точності для систем звичайних диференціальних рівнянь другого порядку з монотонним оператором // Тези доп. міжнародної математичної конференції ім. В. Я. Скоробогатька. – Львів: Видавництво НУ “Львівська політехніка”, 2004. – С. 52.

37. Кутнів М. В. Модифіковані триточкові різницеві схеми високого порядку точності для нелінійних звичайних диференціальних рівнянь 2-го порядку // Тези доп. наукової конференції проф.–викл. складу Ін–ту прикладної математики та фундаментальних наук: – Львів: Видавництво НУ “Львівська політехніка”, 2002. – С. 41.

38. Кутнів М. В. Розв’язування нелінійних триточкових різницевих схем -го рангу // Тези доповідей дев’ятої Всеукраїнської наукової конференції “Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики” – Львів: Видавничий центр ЛНУ ім. Івана Франка, 2002. – С. 79 – 80.

39. Кутнів М. В. Модифіковані триточкові різницеві схеми високого порядку точності для монотонних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку // Тези доп. VI міжнародної наукової конференції “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур”. – Львів: ВКП «ВМС», 2003. – С. 523 – 524.

40. Кутнів М. В. Двоточкові різницеві схеми високого порядку точності для нелінійних систем звичайних диференціальних рівнянь першого порядку // Тези доп. наукової конференції проф.-викл. складу Ін-ту прикладної математики та фундаментальних наук. – Львів: Видавництво НУ “Львівська політехніка”, 2004. – С. 32.

41. Кутнів М. В. Загальні триточкові різницеві схеми високого порядку точності для квазілінійних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку // П’ята відкрита наукова конференція проф.-викл. складу Ін-ту прикладної математики та фундаментальних наук: Тези доповідей. – Львів: Видавництво НУ “Львівська політехніка”, 2006. – С. 45.

42. Макаров В. Л., Кутнів М. В. Точні триточкові різницеві схеми для нелінійних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку на півосі // Матеріали Всеукраїнської наукової конференції “Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики”. – Львів: Видавничий центр ЛНУ ім. Івана Франка, 2003. – С. 88.

Анотації