Анотація до роботи:

ІВАНОВА Н.М. Класифікаційні задачі для рівнянь конвекції–дифузії та рівнянь Шрьодінгера. — Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико–математичних наук зі спеціальності 01.01.03 — математична фізика. — Інститут математики НАН України, Київ, 2005.

Запропоновано новий підхід для знаходження законів збереження. Сформульовано поняття еквівалентності законів збереження відносно локальної групи перетворень. Введено поняття локальної залежності потенціалів.

Прокласифіковано локальні закони збереження для класу рівнянь конвекції–дифузії, знайдено всі потенціальні закони збереження та побудовано нееквівалентні потенціальні системи. Знайдено потенціальні перетворення еквівалентності і потенціальні симетрії, досліджено зв’язок між потенціальними і класичними симетріями за допомогою потенціальних перетворень еквівалентності. Проведено групову класифікацію у класі рівнянь конвекції–дифузії зі змінними коефіцієнтами. Для деяких підкласів побудовано точні інваріантні розв’язки.

Розв’язано задачі групової класифікації у класах нелінійних рівнянь Шрьодінгера з потенціалом. Знайдено достатні умови існування та єдиності розв’язку задачі Коші для деяких підкласів таких рівнянь.

1. Узагальнено прямий метод знаходження законів збереження. Сформульовано нові поняття еквівалентності законів збереження відносно локальної групи перетворень та локальної залежності потенціалів, які дозволяють значно спростити знаходження законів збереження та розширити область застосування вже відомих методів групового аналізу. Виконано класифікацію всіх локальних законів збереження для класу (1+1)-вимірних рівнянь конвекції–дифузії. Припускаючи можливість залежності законів збереження від кількох потенціалів, узагальнено ітераційну процедуру знаходження потенціальних законів збереження. За допомогою прямого ітераційного методу побудовано нелокальні (потенціальні) закони збереження для класу (1+1)-вимірних рівнянь конвекції–дифузії та відповідні їм потенціальні системи.

   Побудовано потенціальні перетворення еквівалентності і потенціальні симетрії для класу (1+1)-вимірних рівнянь конвекції–дифузії та досліджено зв’язок між потенціальними і класичними симетріями за допомогою потенціальних перетворень еквівалентності. Показано, що нелокальні перетворення, які лінеаризують відомі рівняння Бюргерса, Фокаша–Йортсоса та -дифузії, є потенціальними перетвореннями еквівалентності.

   Виконано повну групову класифікацію (1+1)-вимірних рівнянь
   конвекції–дифузії зі змінними коефіцієнтами відносно як загальної групи еквівалентності, так і усіх допустимих локальних перетворень. З використанням отриманих класифікаційних результатів проведено симетрійну редукцію і знайдено точні розв’язки рівнянь, що належать до даного класу.

   Досліджено різні види (умовні та частинні) додаткових перетворень еквівалентності на підкласах класу (1+1)-вимірних рівнянь конвекції–дифузії зі змінними коефіцієнтами.

   Виконано групову класифікацію (1+1)-вимірних рівнянь Шрьодінгера з довільним потенціалом та степеневою нелінійністю. Знайдено всі можливі перетворення еквівалентності між рівняннями у даному класі. Показано, що всі такі перетворення належать до групи еквівалентності вихідного класу. Знайдено достатні умови існування та єдиності глобального розв’язку та розв’язку із загостренням задачі Коші для деяких класів нелінійних рівнянь Шрьодінгера з потенціалом.

   Проведено групову класифікацію -вимірних рівнянь Шрьодінгера з потенціалом типу гармонійного осцилятора та нелінійністю вигляду .

Публікації автора:

[1] Ivanova N. Symmetry of nonlinear Schrdinger equations with harmonic oscillator type potential // Праці Ін-ту математики НАН України. — 2002. — Т. 43 — C. 149–150.

[2] Ivanova N. Conservation laws and potential systems of diffusion–convection equations // Праці Ін-ту математики НАН України. — 2004. — T. 50 — C. 149–153 (see also math-ph/0404025).

[3] Popovych R.O., Ivanova N.M. New results on group classification of nonlinear diffusion–convection equations // J. Phys. A.: Math. Gen. — 2004. — V. 37. — P. 7547–7565 (see also math-ph/0306035).

[4] Popovych R.O., Ivanova N.M., Eshraghi H. Lie symmetries of (1+1)-dimensional cubic Schrdinger equation with potential // Праці Ін-ту математики НАН України. — 2004. — T. 50 — C. 219–224 (see also math-ph/0310039).

[5] Popovych R.O., Ivanova N.M., Eshraghi H. Group classification of (1+1)-dimensional Schrdinger equations with potentials and power nonlinearities // J. Math. Phys. — 2004. — V. 45, № 8. — P. 3049–3057 (see also math-ph/0311039).

[6] Іванова Н.М. Груповий аналіз нелінійних моделей реакції–дифузії // Матеріали V-ї науково-техн. конф. “Авіа-2003” — 2003. — Т. II. — С. 22.25–22.28.

[7] Popovych R.O., Ivanova N.M. Potential equivalence transformations for nonlinear diffusion–convection equations // math-ph/0402066. — 8 p.

[8] Popovych R.O., Ivanova N.M. Hierarchy of conservation laws of diffusion–convection equations // math-ph/0407008. — 24 p.