Анотація до роботи:

Юрй Р.Ф. Класифікація функційних рівнянь малої довжини на квазігрупових операціях. Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 –алгебра і теорія чисел. Інститут математики НАН України, Київ, 2006.

В дисертації вивчено властивості парастрофної рівносильності: знайдено ряд інваріантів; дано повну класифікації квадратичних функційних рівнянь від n (n=2, 3, 4) предметних змінних; виділено представники кожного із класів, знайдено множини розв’язків кожного з цих рівнянь. Звідси випливає існування двох класів при n=2; чотирьох класів при n=3 і 17 класів при n=4. Доведено, що кожне квадратичне парастрофно нескоротне функційне рівняння від п’яти предметних змінних парастрофно рівносильне принаймні одному із чотирьох наведених функційних рівнянь, які не попадають в один клас за парастрофною рівносильністю.

Показано існування функційних рівнянь, які не є квадратичними, але серед компонентів розв’язку обов’язково мають ізотопи груп, знайдено всі розв’язки вказаного рівняння.

Встановлено критерій існування нетривіальних квазігрупових рівнянь на множині квазігрупових операцій. Крім того, знайдено повну класифікацію загальних не обов’язково квадратичних функційних рівнянь малої довжини на квазігрупових операціях.

Отже, в даній дисертації: знайдено ряд інваріантів парастрофної рівносильності; дано повну класифікацію квадратичних функційних рівнянь від n (n=2, 3, 4) предметних змінних з точністю до парастрофної рівносильності; виділено представники кожного із класів парастрофної еквівалентності; знайдено множини розв’язків рівнянь від n (n=2, 3, 4) предметних змінних; встановлено існування двох класів при n=2, чотирьох класів при n=3 і 17 класів при n=4; доведено, що кожне загальне квадратичне функційне рівняння від чотирьох предметних змінних, яке не має самодостатніх підслів, парастрофно рівносильне точно одному із п’яти функційних рівнянь; встановлено, що кожне квадратичне парастрофно нескоротне функційне рівняння від п’яти предметних змінних парастрофно рівносильне принаймні одному із чотирьох наведених функційних рівнянь, які не попадають в один клас за парастрофною рівносильністю; доведено існування функційних рівнянь, які не є квадратичними, але серед компонентів розв’язку обов’язково мають ізотопи груп.

Основними результатами дисертації є:

завершення класифікації загальних квадратичних функційних рівнянь малої довжини з точністю до парастрофної рівносильності на квазігрупах. Встановлено, що існує 17 загальних квадратичних рівнянь від чотирьох предметних змінних;

знаходження серії інваріантів парастрофної рівносильності;

доведення факту, що нескоротних квадратичних функційних рівнянь від п’яти предметних змінних є не більше 4-х з точністю до парастрофної рівносильності;

доведення існування неквадратичних функційних рівнянь від трьох предметних змінних, які мають властивість ізотопності групі.

Здобуті в дисертації результати можна застосувати до подальшого вивчення в алгебрі при вивченні тотожностей в теорії квазігруп; в топології при вивченні тотожностей в топологічних квазігрупах і лупах; в дискретній математиці та багатозначній логіці при вивченні розкладів багатомісних функцій за допомогою суперпозицій тощо.

Всі результати дисертації є строго логічно обґрунтованими та якісно відрізняються від одержаних попередниками.

Автор висловлює щиру подяку своєму науковому керівникові доценту Сохацькому Федору Миколайовичу за постійну увагу та допомогу під час написання роботи.

Публікації автора:

1. Коваль Р.Ф. Класифікація квадратичних функційних рівнянь малої довжини на квазігрупах // Науковий часопис НПУ ім. М.П.Драгоманова. Фізико-математичні науки. - 2004. – № 5.- С.111-127.

2. Коваль Р.Ф. Класифікація квадратичних парастрофно нескоротних функційних рівнянь від п’яти предметних змінних на квазігрупах // Український математичний журнал. 2005. Т. 57, № 8. С.1058 1068.

3. Коваль Р.Ф. Розв’язання квадратичних функційних рівнянь від п’яти предметних змінних на квазігрупових операціях. // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. – 2005. Вып. 11.– С. 15-22.

4. Koval’ R.F. On a Functional Equation with a Group Isotopy Property// Bulentinul Academiei de tiinte a Republicii Moldova.– 2005.– N2.–P.65–71.

5. Сохацький Ф.М., Коваль Р.Ф. Класифікація функційних рівнянь від чотирьох змінних // Третя міжнародна алгебраїчна конференція в Україні (2–8 липня 2001 р.).– Суми: Сумський державний педагогічний університет ім. А.С.Макаренка, 2001.– С.254 –255.

6. Sokhatsky F.N., Koval’ R.F. A classification of general four variable quadratic parastrophically uncancellable functional equations on quasigroups// Forth International algebraic conference in Ukraine (August 4-9, 2003).– Lviv, 2003.– P.209–210.

7. Sokhatsky F.N., Koval’ R.F. About a classification of quadratic parastrophically uncancellable functional equations on quasigroups// Second Conference of the Mathematical Society of the Republic of Moldova (August 17-19, 2004). Chiinu: Institute of Mathematics and Computer Science, 2004.– P.300–301.

8. Koval’ R.F. On Group Isotopy Property Functional Equation// Fifth International Algebraic Conference in Ukraine (July 20-27, 2005).– Odessa: I.I.Mechnikov National University, 2005.– Р.107.