Анотація до роботи:

Радченко В. М. Інтеграли за загальними випадковими мірами. — Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.05 — теорія ймовірностей і математична статистика. — Київський національний університет імені Тараса Шевченка. Київ, 2007.

Дисертаційну роботу присвячено дослідженню випадкових функцій множин, що задовольняють лише умову -адитивності за ймовірністю. Докладно розглянуто інтеграл від дійсних вимірних функцій за такими випадковими мірами, для цього інтеграла отримано граничні теореми при збіжності функцій, випадкових мір або множин інтегрування. Введено і досліджено поняття -скінченної випадкової міри.

Показано, що траєкторії широкого класу процесів, породжених значеннями випадкових мір мають важливі властивості регулярності — належать просторам Бєсова, є неперервними. Досліджено властивості залежного від параметра інтеграла за випадковою мірою.

Розглянуто деякі класичні рівняння в частинних похідних з випадковим впливом. Показано, що розв’язки цих рівнянь можна записати як інтеграли за загальними випадковими мірами.

Визначено і досліджено симетричний інтеграл за загальними випадковими мірами від випадкових функцій, що записуються у вигляді ряду з дійсними функціями.

Як розв’язання конкретної задачі для стохастичних інтегралів, для двох моделей ціни акції зі стрибками отримано явні формули стратегії, що дає найменше середньоквадратичне відхилення від заданої платіжної функції.

В процесі розвитку стохастичного аналізу докладно вивчені інтеграли за семімартингалами, узагальнені стохастичні інтеграли за гауссовою випадковою мірою, розглянуто розв’язання рівнянь з такими інтегралами. При цьому суттєво використовуються спеціальні властивості вказаних випадкових мір. Побудовано інтеграли від дійсних функцій за мірами із значеннями в топологічних просторах. При цьому на векторні міри накладаються певні умови обмеженості.

В даній дисертаційній роботі досліджено випадкові міри, на які накладається лише умова -адитивності за ймовірністю. Побудовано теорію інтегрування дійсних функцій за цими випадковими мірами, розглянуто і інтеграли від деяких випадкових функцій. Показано, що траєкторії випадкових процесів, породжених такими випадковими мірами, мають певні властивості регулярності. Для деяких рівнянь з інтегралами за загальними випадковими мірами знайдено розв’язки. Також для середньоквадратичного хеджування в моделі зі стрибками ціни акції отримано явні формули.

В роботі побудовано інтеграл від дійсної функції за загальною випадковою мірою. Для таких інтегралів доведено теореми про збіжність за ймовірністю виразів вигляду

В багатьох твердженнях при цьому вимагається виконання умови типу рівномірної інтегровності, для перевірки таких умов доведено аналоги теореми Валле-Пуссена.

Введено поняття -скінченної випадкової міри та інтеграла від дійсної функції за нею. Для таких інтегралів одержано теореми про збіжність за ймовірністю виразів вигляду

Одним з центральних результатів роботи є наступний. Для випадкової міри , визначеної на борельових підмножинах , для якої процес має неперервні траєкторії, для будь-яких , траєкторія , з ймовірністю 1 належить простору Бєсова . При певних додаткових умовах аналогічне твердження доведено для , визначеної на борельових підмножинах брусу в .

Знайдено достатні умови неперервності за параметром інтегралів від дійсних функцій за випадковими мірами, звідки виведено наслідки про належність цих траєкторій відповідним просторам Бєсова.

Одержано твердження про диференціювання мір, залежних від Дано побудову через прості випадкові функції інтеграла від випадкової функції за невід’ємною дійсною мірою, знайдено умови його визначеності, доведено аналог теореми Лебега. З допомогою побудованого інтеграла визначено добуток дійсної та випадкової мір, для якого отримано аналог теореми Фубіні.

Як важливе використання теорії інтеграла за випадковою мірою, виведено формули розв’язків рівняння теплопровідності та хвильового рівняння з узагальненими випадковими функціями, що є розглянутими в роботі інтегралами. Єдиність вказаних розв’язків отримано при виконанні певних додаткових умов. Для розв’язання стохастичних рівнянь з вказаними інтегралами на важливим є отриманий в роботі результат про існування регулярних модифікацій відповідних у. в. ф.

Для випадкових функцій вигляду

визначено інтеграл за випадковою мірою. Доведено граничні теореми про збіжність за ймовірністю величин

Знайдено умови існування та єдиності розв’язків, умови їх неперервності за параметром, явний вираз для розв’язків рівняння

відносно невідомої випадкової міри

Також в роботі виведено явні формули розв’язку в одній з конкретних задач фінансової математики — найкращого в середньоквадратичному сенсі наближення заданої платіжної функції. Фактично тут побудовано найкраще наближення заданої випадкової величини стохастичним інтегралом за заданою випадковою мірою — семімартингалом.

Розглядається ринок в неперервному часі з одним типом акцій і безризиковим активом. Припускається, що дисконтована ціна акції керується вінерівським процесом і, додатково до цього, має випадкові стрибки в деякі моменти часу. Розглянуто дві моделі. В одній вважається, що моменти стрибків невипадкові і наперед відомі. В другій розглядається випадок, коли стрибки відбуваються у випадкові моменти, визначені однорідним процесом Пуассона. Для визначених моделей ринку знайдено в явному вигляді формули хеджуючої самофінансованої стратегії для Європейського опціону колл, платіжної функції вигляду , де — неперервна функція з не більш, ніж поліноміальним зростанням.

Результати роботи розширюють клас стохастичних інтегралів, дають можливість розв’язувати нові типи стохастичних рівнянь. Розв’язки цих рівнянь записуються через визначені в роботі стохастичні інтеграли, властивості розв’язків випливають із знайдених властивостей інтегралів.

Показано, що з -адитивності випадкової функції множин випливають важливі умови регулярності породжених випадкових процесів. Доведену регулярність траєкторій випадкових процесів можна використовувати для аналізу поведінки різних стохастичних систем в цілому і дослідження розв’язків стохастичних рівнянь зокрема.

Одержані в роботі явні формули хеджування можна застосовувати в практичній роботі на фінансовому ринку.

Публікації автора:

1. Радченко В. Н. Интегралы по общим случайным мерам // Труды Института математики НАН Украины. Т. 27 — К.: Ин-т математики НАН Украины, 1999. — 196 с.

2. Радченко В. Н. Теорема Радона-Никодима для случайных мер // Укр. мат. журн. — 1989. — Т. 41, № 1. — C. 63–67.

3. Радченко В. Н. Равномерная интегрируемость для интегралов по значным мерам // Укр. мат. журн. — 1991. — Т. 43, № 9. — С. 1264–1267.

4. Радченко В. Н. О сходимости интегралов по -значным мерам // Матем. заметки. — 1993. — Т. 53, вып. 5. — С. 102–106.

5. Радченко В. Н. Об определении интеграла от случайной функции // Теория вероятн. и ее прим. — 1996. — Т. 41, вып. 3. — С. 677–682.

6. Радченко В. Н. Равномерная интегрируемость и теорема Лебега для сходимости по -значным мерам // Укр. мат. журн. — 1996. — Т. 48, № 6. — С. 857–860.

7. Радченко В. М. Про наближення інтегралів по випадковій мірі з допомогою дійсної міри // Теор. ймовірност. та матем. статист. — 1996. — Вип. 55. — С. 165–166.

8. Радченко В. Н. Сходимость интегралов от неограниченных действительных функций по случайным мерам // Теория вероятн. и ее прим. — 1997. — Т. 42, вып. 2. — С. 358–364.

9. Радченко В. М. Теорема Валле-Пуссена для інтегралів по загальних випадкових мірах // Теор. ймовірност. та матем. статист. — 1997. — Вип. 57. — С. 160–162.

10. Радченко В. М. Про розв’язання деяких інтегральних рівнянь із загальними випадковими мірами // Вісник Київ. ун-ту. Фізико-математичні науки. — 1998. — Вип. 4. — С. 40–45.

11. Радченко В. Н. Интеграл от случайной функции по случайной аддитивной функции множеств // Доповіді НАН України. — 1999. — № 4. — С. 46–49.

12. Радченко В. Н. Интегралы от некоторых случайных функций по общим случайным мерам // Укр. мат. журн. — 1999. — Т. 51, № 8. — С. 1087–1095.

13. Радченко В. Н. Дифференцируемость интегралов от действительных функций по -значным мерам // Укр. мат. журн. — 1999. — Т. 51, № 11. — С. 1582–1585.

14. Радченко В. М. Співпадіння симетричного стохастичного інтеграла з інтегралами Іто і Стратоновича // Вісник Київ. ун-ту. Фізико-математичні науки. — 2000. — Вип. 2. — С. 102–105.

15. Радченко В. М. Інтегрування за загальними випадковими мірами в сенсі Рімана // Теор. ймовірност. та матем. статист. — 2000. — Вип. 62. — С. 111–115.

16. Радченко В. М. Абсолютна неперервність випадкових мір, породжених симетричними стохастичними інтегралами // Теор. ймовірност. та матем. статист. — 2001. — Вип. 64. — С. 135–139.

17. Радченко В. М. Про добуток випадкової та дійсної мір // Теор. ймовірност. та матем. статист. — 2004. — Вип. 70. — С. 144–148.

18. Радченко В. М. Теорема Віталі – Каратеодорі для інтегралів за загальними випадковими мірами // Вісн. Київ. ун-ту. Математика. Механіка. — 2005. — Вип. 13–14. — С. 6–8.

19. Радченко В. Повнота простору дійсних функцій, інтегровних за випадковою мірою // Вісн. Київ. ун-ту. Математика. Механіка. — 2006. — Вип. 15–16. — С. 62–65.

20. Радченко В. Н. Хеджирование наименьшей вариации в модели со скачками в неслучайные моменты времени // Теория вероятн. и ее прим. — 2006. — Т. 51, вып. 3. — С. 608–618.

21. Радченко В. М. Залежні від параметра інтеграли за загальними випадковими мірами // Теор. ймовірност. та матем. статист. — 2006. — Вип. 75. — С. 161–164.

22. Radchenko V. M. Besov regularity of stochastic measures // Statist. Prob. Lett. — 2007. — Vol. 77, № 8. — P. 822–825.

23. Радченко В. Н. Предельные теоремы для интегралов по случайным мерам // Тези доп. Міжн. конф. пам’яті М.П. Кравчука. — Київ: Інститут математики АН України, 1992. — С. 170.

24. Радченко В. Н. Интеграл по случайной аддитивной функции множеств // Сьома Міжн. наук. конф. імені академіка М. Кравчука. Матер. конф. — Київ: Міністерство освіти України, ІМ НАН України, НТУ КПІ, 1998. — С. 426.

25. Radchenko V. M. Symmetric stochastic integral with respect to general random measure // The Third Ukrainian-Scandinavian Conference in Probability Theory and Mathematical Statistics. June 8–12, 1999, Kyiv, Ukraine. Abstracts. — Kyiv, 1999. — P. 125.

26. Radchenko V. M. Integration with respect to general random measures in Riemann sense // Conference “Functional Methods in Approximation Theory, Operator Theory, Stochastic Analysis and Statistics” October 19–22, 2001, Kyiv, Ukraine. Abstracts. — Kyiv, 2001. — P. 65.

27. Radchenko V. M. General stochastic measures: Besov regularity and integration // Conference „Functional Methods in Approximation Theory, Operator Theory, Stochastic Analysis and Statistics” October 1–5, 2004, Kyiv, Ukraine. Abstracts. — Kyiv, 2004. — P. 101.

28. Radchenko V. Regularity of generated by stochastic measures generalized random functions // International Conference “Modern Stochastics: Theory and Applications” June 19–23, 2006, Kyiv, Ukraine. Abstracts. — Kyiv, 2006. — P. 225.

29. Radchenko V. Variance-minimizing hedging in the model with jumps // International Summer School “Insurance and Finance: Science, Practice and Education” June 25–July 1, 2006, Foros, Ukraine. Abstracts. — Kyiv, 2006. — P. 13.