Анотація до роботи:

Лейбіна О.В. Грасманів образ комплексних підмноговидів. — Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.04 – геометрія і топологія. – Харківський національний університет імені В.Н. Каразіна, Харків, 2005.

Дисертація присвячена дослідженню грасманового образу комплексних підмноговидів комплексного евклідового простору. Властивості грасманового образу застосовуються для вивчення зовнішньої геометрії комплексних підмноговидів.

Отримано скінченну афінну класифікацію точок комплексних підмноговидів комплексного евклідового простору. Надана класифікація точок двовимірних та тривимірних комплексних підмноговидів по голоморфній кривині комплексного многовиду Грасмана вздовж площинок, що дотичні до грасманового образу підмноговиду. Отримані “грасманові” класи точок відповідають афінним класам точок двовимірних та тривимірних комплексних підмноговидів.

Введено аналог абсолютної кривини Черна-Лашофа для комплексних підмноговидів комплексного евклідового простору. Встановлено зв’язок між цією кривиною та об’ємом грасманового образу підмноговиду. Досліджено комплексні підмноговиди з максимальною голоморфною кривиною комплексного многовиду Грасмана по площинкам, що дотичні до невиродженого грасманового образу. Отримано класифікацію комплексних підмноговидів з невиродженим цілком геодезичним грасмановим образом. Розв’язано задачу однозначної визначеності комплексних підмноговидів за грасмановим образом.

У дисертації проведено дослідження грасманового образу комплексних підмноговидів комплексного евклідового простору. Властивості грасманового образу застосовано для вивчення зовнішньої геометрії комплексних підмноговидів.

Основні результати, отримані в дисертації, полягають у наступному:

1. Отримано афінну класифікацію точок комплексних підмноговидів. Доведено, що точки неособливої комплексної поверхні можна розбити на скінченне число класів афінної еквівалентності для двовимірних комплексних поверхонь довільної комплексної точкової ковимірності, для комплексних гіперповерхонь і двоїстого випадку, де комплексна точкова ковимірність на 1 менше максимальної, для комплексних поверхонь мінімальної чи максимальної комплексної точкової ковимірності, для тривимірних комплексних поверхонь комплексної точкової ковимірності 2 або 4. У кожному з виділених випадків наведено повний опис класів еквівалентності.

2. Отримано класифікацію точок двовимірних і тривимірних комплексних поверхонь за грасмановим образом. Класи еквівалентних точок характеризуються кількістю напрямків, що дотичні до грасманового образу комплексної поверхні, вздовж яких голоморфна кривина комплексного многовиду Грасмана досягає свого максимально можливого значення. Отримані класи точок відповідають афінним класам точок двовимірних і тривимірних комплексних поверхонь.

3. Введено аналог абсолютної кривини Черна-Лашофа для комплексних підмноговидів. Встановлено зв'язок між цією кривиною та об’ємом грасманового образу комплексного підмноговиду.

4. Доведено, що якщо голоморфна кривина комплексного многовиду Грасмана по площинкам, що дотичні до невиродженого грасманового образу комплексного підмноговиду, приймає максимально можливе значення в усіх напрямках, то підмноговид є комплексною гіперповерхнею.

5. Доведено, що комплексний підмноговид має невироджений цілком геодезичний грасманів образ тоді і тільки тоді, коли він є добутком комплексних гіперповерхонь, кожна з яких має нульовий комплексний зовнішній нуль-індекс.

6. Вирішено задачу однозначної визначеності комплексних підмноговидів за грасмановим образом. Доведено, що комплексний підмноговид, у точках якого немає спряжених підпросторів і асимптотичних напрямків, однозначно з точністю до гомотетії та паралельного переносу визначається грасмановим образом. Розглянуто задачу однозначної визначеності за грасмановим образом комплексних підмноговидів з великою комплексною точковою ковимірністю.

У дисертації знайдено комплексні аналоги та отримано узагальнення на комплексний випадок деяких результатів про грасманів образ дійсних підмноговидів евклідового простору, що були одержані в роботах О.А. Борисенка, Ю.А. Амінова, Ю.А. Ніколаєвського, Д. Феруса, С.Є. Козлова та інших авторів.

Отримані результати можуть бути використаними для подальших досліджень зовнішньої геометрії комплексних підмноговидів комплексного евклідового простору та при вивченні теорії грасманового образу підмноговидів.

Публікації автора:

1. Лейбина О.В. Аффинная классификация точек многомерных комплексных поверхностей // Вiсник Харківського національного університету. Серія “Математика, прикладна математика і механіка”. – 2001. – № 514. – С. 129-141.

2. Борисенко А.А., Лейбина О.В. Классификация точек двумерных и трехмерных комплексных поверхностей по грассманову образу // Математическая физика, анализ, геометрия. – 2002. – Т. 9, № 4. – С. 572-594.

3. Борисенко А.А., Лейбина О.В. Комплексные подмногообразия с экстремальной кривизной // Доповіді НАН України. – 2004. – № 10. – С. 7-13.

4. Лейбина О.В. Аффинная классификация точек многомерных комплексных поверхностей // Тезисы докладов 4-й Международной конференции по геометрии и топологии. – Черкассы. – 2001. – С. 51-52.

5. Борисенко А.А., Лейбина О.В. Грассманова классификация точек двумерных комплексных поверхностей // Тезисы докладов 4-й Международной конференции по геометрии и топологии. – Черкассы. – 2001. – С. 16.

6. Борисенко А.А., Лейбина О.В. Классификация точек трехмерных комплексных поверхностей по грассманову образу // Тезисы докладов Международной конференции-школы по геометрии и анализу, посвященной памяти А.Д. Александрова. – Новосибирск. – 2002. – С. 32-33.

7. Borisenko A.A., Leybina O.V. Chern-Lashof Absolute Curvature for a Complex Submanifold and the volume of the Grassmann Image // First Karazin Scientific Readings, Mathematical Symposium. – Kharkiv. – 2004. – Book of abstracts. – Р. 23.

8. Borisenko A.A., Leybina O.V. Complex Submanifolds with Extremal Curvature // Тезисы докладов Международной школы-конференции по геометрии и анализу, посвященной 75-летию академика Ю.Г. Решетняка. – Новосибирск. – 2004. – С. 69-70.