Анотація до роботи:

Мусейко О.В. Граничний аналіз параметризованих варіаційних нерівностей. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.01 – теоретичні основи інформатики та кібернетики. – Дніпропетровський національний університет Міністерства освіти і науки України, Дніпропетровськ, 2002.

Дисертацію присвячено проблемі усереднення абстрактних нелінійних варіаційних нерівностей в банахових просторах. Для широкого класу таких математичних об’єктів як варіаційні нерівності запропоновано єдиний формалізм процесу їх усереднення, розроблено математичний апарат для побудови усередненої варіаційної нерівності, одержано достатні умови її існування, досліджено її структуру та основні топологічні властивості.

В основі запропонованої схеми усереднення лежить відношення еквівалентності між варіаційними нерівностями та спеціальним чином сконструйованими екстремальними задачами з фазовими обмеженнями. Таким чином, усереднення варіаційних нерівностей реалізується через S-усереднення відповідних екстремальних задач. Доведено, що S-гранична екстремальна задача відповідає усередненій варіаційній нерівності.

У дисертаційній роботі наведено дослідження проблеми усереднення варіаційних нерівностей. При цьому отримано такі нові наукові результати:

введено означення усередненої варіаційної нерівності;

для класу варіаційних нерівностей з нелінійними операторами запропоновано аксіоматичні основи теорії їх усереднення;

встановлено достатні умови існування і єдиності усереднених варіаційних нерівностей;

досліджено основні топологічні властивості усереднених варіаційних нерівностей;

визначено загальну структуру усередненої варіаційної нерівності, яка може як співпадати з результатом покомпонентного усереднення вихідної варіаційної нерівності, так і суттєво відрізнятись від нього.

Одержані результати дозволяють встановити аналітичний вигляд усередненої, тобто граничної за параметром , задачі для параметризованих варіаційних нерівностей, чисельне дослідження яких неможливе через неспроможність обчислювальних процедур, а аналітичний розв’язок вдається знайти лише в виключних випадках. Практичне застосування одержаних результатів можна проілюструвати прикладами знаходження ефективних (усереднених) характеристик слоїстих середовищ (товщина слоїв ), та усередненням пружно-пластичного кручення циліндру з періодично розташованими в ньому волокнами діаметру при обмеженнях на його максимальну деформацію. Вiрогiднiсть результатів забезпечується точними математичними доведеннями всіх положень та висновків, які наведені в дисертації. Про коректність отриманих результатів свідчить той факт, що деякі відомі приклади усереднення варіаційних нерівностей випливають як частинний випадок з наведених загальних тверджень.