Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 – алгебра і теорія чисел. – Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2008.
Дисертаційну роботу присвячено дослідженню горенштейнових сагайдаків, зокрема, знайдено і вивчено горенштейнові сагайдаки, що мають не більше 8 вершин. Для всіх горенштейнових сагайдаків, що мають не більше 7 вершин, знайдено при яких значеннях параметрів вони є сагайдаками для даної горенштейнової матриці. Графічно зображено всі горенштейнові сагайдаки, що мають не більше 7 вершин. Досліджено на примітивність та імпримітивність матриці суміжності горенштейнових сагайдаків, що мають не більше 8 вершин, знайдено їх характеристичні поліноми. Знайдено формули, за допомогою яких можна задати матриці суміжності горенштейнових сагайдаків циклічних горенштейнових матриць до 8-го порядку включно. Знайдено всі цілі індекси горенштейнових сагайдаків. Знайдено індекси імпримітивності матриць суміжності циклічних горенштейнових сагайдаків. Знайдено критерій горенштейновості зведених -порядків за допомогою ординальних степенів частково впорядкованих множин; описано всі горенштейнові сагайдаки, що відповідають -порядкам.
У дисертаційній роботі знайдено і досліджено всі горенштейнові сагайдаки, що мають не більше 8 вершин. Для всіх горенштейнових сагайдаків, що мають не більше 7 вершин, знайдено при яких значеннях параметрів вони є сагайдаками для даної горенштейнової матриці. Графічно зображено всі горенштейнові сагайдаки, що мають не більше 7 вершин. Досліджено на примітивність та імпримітивність матриці суміжності горенштейнових сагайдаків, що мають не більше 8 вершин, знайдено їх характеристичні поліноми. Знайдено формули, за допомогою яких можна задати матриці суміжності горенштейнових сагайдаків до 5-го порядку включно. Знайдено формули, за допомогою яких можна задати матриці суміжності горенштейнових сагайдаків циклічних горенштейнових матриць до 8-го порядку включно. Знайдено всі цілі індекси горенштейнових сагайдаків. Знайдено індекси імпримітивності матриць суміжності циклічних горенштейнових сагайдаків. Знайдено критерій горенштейновості зведених -порядків за допомогою ординальних степенів частково впорядкованих множин; описано всі горенштейнові сагайдаки, що відповідають -порядкам.
Циклічні сагайдаки горенштейнових матриць не мають петель у жодній вершині. Для циклічної горенштейнової матриці завжди знайдеться циклічний горенштейнів сагайдак з , причому матрицю суміжності цього сагайдака можна задати формулою і характеристичний поліном її має вигляд , де – порядок матриці. Індекси циклічних горенштейнових сагайдаків циклічних горенштейнових матриць можуть не дорівнювати одиниці.
Циклічних сагайдаків нециклічних горенштейнових матриць 5-го та 7-го порядку не існує. Циклічні сагайдаки нециклічних горенштейнових матриць 4-го та 6-го порядку завжди мають . Циклічні сагайдаки нециклічних горенштейнових матриць 8 порядку можуть мати як цілий, так і нецілий індекс. Цілий індекс циклічного горенштейнового сагайдака, який має не більше 8 вершин, може бути числом із множини .
Індекси регулярних горенштейнових сагайдаків, що мають не більше 5 вершин, є цілими числами. Якщо сагайдак з 6 або 7 вершинами має петлі не в усіх вершинах, то він має нецілий індекс. Якщо сагайдак з 6 або 7 вершинами має , то він обов'язково є регулярним, причому він може мати петлі в усіх вершинах або мати петлі не в усіх вершинах. Для циклічних горенштейнових матриць 6 та 7 порядку існують лише регулярні горенштейнові сагайдаки з цілим індексом. Для нециклічних горенштейнових матриць 6 та 7 порядку існують регулярні горенштейнові сагайдаки як з цілим, так і з нецілим індексом. Регулярні горенштейнові сагайдаки з 6 або 7 вершинами та цілим індексом мають петлі або в кожній вершині, або петель взагалі не мають. Якщо сагайдак з 8 вершинами має петлі не в усіх вершинах, то його індекс може бути як цілим, так і нецілим числом. Цілий індекс регулярного горенштейнового сагайдака з вершинами може бути числом із множини .
Публікації автора:
Галапчук С.Г. Горенштейнові сагайдаки // Науковий часопис НПУ імені М.П. Драгоманова. Серія 1. Фізико-математичні науки. — 2005. — №6. — С. 107-117.
Галапчук С.Г. Об одном обобщении дважды стохастических матриц // Известия Гомельского государственного университета имени Ф. Скорины. — 2007. — №5(44). — С. 138-143.
Кириченко В.В., Журавлёв В.Н., Черноусова Ж.Т., Мирошниченко С.Г. Циклические горенштейновы порядки // Доповіді НАН України. Серія: Математика, природознавство, технічні науки. — 2003. — №4. — С. 7-11.
Chernousova Zh.T., Dokuchaev M.A., Khibina M.A., Kirichenko V.V., Miroshnichenko S.G., Zhuravlev V.N. Tiled orders over discrete valuation rings, finite Markov chains and partially ordered sets. I. // Algebra and discrete mathematics. — 2002. — №1. — P. 32-63.
Chernousova Zh.T., Dokuchaev M.A., Khibina M.A., Kirichenko V.V., Miroshnichenko S.G., Zhuravlev V.N. Tiled orders over discrete valuation rings, finite Markov chains and partially ordered sets. II. // Algebra and discrete mathematics. — 2003. — №2. — P. 47-86.
Chernousova Zh.T., Dokuchaev M.A., Khibina M.A., Kirichenko V.V., Miroshnichenko S.G., Zhuravlev V.N. Tiled orders over discrete valuation rings, finite Markov chains and partially ordered sets. I. — Brasil, November 2002. — 36 p. (Preprint / Sao Paulo Univ. and Inst. of Math. and Statistics; RT-MAT 2002-29).
Chernousova Zh.T., Dokuchaev M.A., Khibina M.A., Kirichenko V.V., Miroshnichenko S.G., Zhuravlev V.N. Tiled orders over discrete valuation rings, finite Markov chains and partially ordered sets. II. — Brasil, April 2003. — 43 p. (Preprint / Sao Paulo Univ. and Inst. of Math. and Statistics; RT-MAT 2003-7).
Галапчук С.Г. Про одне узагальнення двічі стохастичних матриць // Abstracts of 6th International Algebraic Conference in Ukraine — Kamyanets-Podilsky, 2007. — P. 80-82.
Кириченко В.В., Журавлёв В.М., Черноусова Ж.Т., Мирошничен-ко С.Г. Циклические горенштейновы порядки // Тези доповідей Міжнародної математичної конференції, присвяченої сторіччю від початку роботи Д.О. Граве в Київському університеті. — К., 2002. — С. 96-97.
Galapchuk S.G. Gorenstein quivers // Тези доповідей International Conference on Radicals ICOR-2006 — Kyiv, 2006. — P. 33-34.
