Анотація до роботи:

Петров Є.В. Геометрія підмноговидів в нільпотентних групах Лі і групах Лі з біінваріантною метрикою. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.04 – геометрія і топологія. Харківський національний університет імені В.Н. Каразіна, Харків, 2008.

Дисертація присвячена вивченню властивостей грасманового відображення підмноговидів у різних класах груп Лі з лівоінваріантною метрикою. Отримані критерії гармонійності грасманового відображення підмноговиду для загального випадку групи Лі та ряду окремих випадків.

Показана нееквівалентність між паралельністю векторного поля середньої кривини та гармонійністю грасманового відображення для підмноговидів у групах Лі з біінваріантною метрикою та в групах Гейзенберга. Доведені умови стійкості гіперповерхні постійної середньої кривини в нільпотентній ступеня 2 групі Лі. Доведено, що геодезична в такій групі має гармонійне грасманове відображення тоді й тільки тоді, коли вона є лівим зсувом однопараметричної підгрупи. Для тривимірної групи Гейзенберга показано, що поверхня постійної середньої кривини з гармонійним гаусовим відображенням є “циліндром”. Також доведено, що в цій групі не існує явно заданої над горизонтальною площиною поверхні з обмеженим знизу позитивним числом модулем якобіана гаусового відображення.

У дисертації вивчені підмноговиди в нільпотентних групах Лі з лівоінваріантною метрикою та в групах Лі з біінваріантною метрикою. Розглянуті питання, пов’язані з гармонійними властивостями грасманового відображення та властивостями середньої кривини таких підмноговидів, зокрема, зв’язок паралельності векторного поля середньої кривини підмноговиду та гармонійності грасманового відображення, стійкість гіперповерхонь постійної середньої кривини, існування поверхонь із обмеженнями на кривину або на якобіан гаусового відображення. У процесі дослідження отримані наступні нові результати:

1. Встановлено критерії гармонійності грасманового відображення підмноговиду в групі Лі з лівоінваріантною метрикою.

2. За допомогою загальних критеріїв отримані порівняно прості умови гармонійності грасманового відображення цілком геодезичного підмноговиду в групі Лі з лівоінваріантною метрикою, підмноговиду в групі Лі з біінваріантною метрикою, підмноговиду в групі Гейзенберга, гаусового відображення гіперповерхні в загальній групі Лі та нільпотентній ступеня 2 групі Лі.

3. Наведені алгебраїчні критерії гармонійності цілком геодезичного підмноговиду в групі Лі з біінваріантною метрикою в термінах дотичного простору до підмноговиду. Побудовано приклад цілком геодезичного підмноговиду з негармонійним грасмановим відображенням.

4. Встановлено умови належності гаусового образа гіперповерхні в нільпотентній ступеня 2 групі Лі екватору сфери та стійкості гіперповерхні постійної середньої кривини в такій групі .

5. Доведено, що геодезична в нільпотентній ступеня 2 групі Лі, що проходить через нейтральний елемент групи, має гармонійне грасманове відображення тоді й тільки тоді, коли вона є однопараметричною підгрупою.

6. Розглянуті окремі класи підмноговидів у групах Гейзенберга різних вимірностей і встановлені їх основні геометричні властивості. Зокрема, за допомогою цих класів підмноговидів показано, що гармонійність грасманового відображення підмноговиду в такій групі не еквівалентна паралельності векторного поля середньої кривини.

7. Встановлено простий зв’язок між збереженням середньої кривини гіперповерхні в групі Гейзенберга, гармонійністю її гаусового відображення та властивостями її другої фундаментальної форми.

8. З’ясовано, що поверхні постійної середньої кривини з гармонійним гаусовим відображенням у тривимірній групі Гейзенберга вичерпуються “циліндрами”.

9. Доведено, що в тривимірній групі Гейзенберга не існує явно заданої поверхні з обмеженим знизу позитивним числом модулем якобіана гаусового відображення.

Публікації автора:

1. Масальцев Л.А., Петров Е.В. Минимальные поверхности в группе Гейзенберга // Вiсник Харкiвського національного університету. Серія “Математика, прикладна математика і механіка”. – 2003. – № 602. – С. 35-45.

2. Масальцев Л.А., Петров Е.В. О стабильности минимальных поверхностей в трехмерной группе Гейзенберга // Вiсник Харкiвського національного університету. Серія “Математика, прикладна математика і механіка”. – 2004. – № 645. – С. 135-141.

3. Petrov Ye.V. The Gauss map of hypersurfaces in 2-step nilpotent Lie groups // Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry. – 2006. – Vol. 2, No. 2. – P. 186-206.

4. Petrov Ye.V. Submanifolds with the harmonic Gauss map in Lie groups // Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry. – 2008. – Vol. 4, No. 2. – P. 278-293.

5. Масальцев Л.А., Петров Е.В. Минимальные поверхности в группе Гейзенберга // Тези доповідей 5-ої міжнародної конференції з геометрії та топології. – Черкаси, 2003. – С. 79-80.

6. Masaltsev L.A., Petrov E.V. On Stability of Some Minimal Surfaces in the Heisenberg Group // Международная школа-конференция по анализу и геометрии, посвященная 75-летию академика Ю. Г. Решетняка. Тезисы докладов. – Новосибирск, 2004. – С. 175.

7. Петров Е.В. О гауссовом отображении гиперповерхностей постоянной средней кривизны в нильпотентных группах Ли // Тези доповідей 6-ої міжнародної конференції з геометрії та топології. – Черкаси, 2005. – С. 71-72.

8. Петров Е.В. Подмногообразия с гармоническим грассмановым отображением в группах Гейзенберга // Тези доповідей 7-ої міжнародної конференції з геометрії та топології. – Черкаси, 2007. – С. 64-65.

9. Petrov Ye.V. Submanifolds with the harmonic Gauss map in Lie groups // Third Russian-German Geometry Meeting, Dedicated to 95th Birthday of A. D. Alexandrov. Abstracts. – Saint-Petersburg, 2007. – P. 34-35.