Анотація до роботи:

Воробйов І.В. Функціональні моделі та метричні вузли для операторів, що близькі до нормальних. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 – математичний аналіз. – Харківський національний університет імені В.Н. Каразіна, Харків, 2004.

У дисертації розроблено єдиний підхід для вивчення операторів, що близькі до нормальних, за допомогою розкладання оператора на дійсну і уявну частини та за допомогою полярного розкладання. Введені відповідні метричні вузли та їх визначальні функції, які є повними унітарними інваріантами належних вузлів. Побудовано сингулярні інтегральні моделі, доведено існування символів для них, та одержано задачі Рімана-Гільберта, що зв’язують сильні межові значення визначальних функцій з характеристичними функціями. За допомогою визначальних та характеристичних функцій побудовані мозаїки та принципальні функції Пінкуса, а також вивчені їх зв’язки з символами і загальними символами. Одержані нові формули слідів, розроблено зв’язок принципальних функцій з індексом оператора , та вивчені носії принципальних функцій. Побудовано функціональні моделі самоспряженого абсолютно неперервного сингулярного інтегрального оператора та деяких класів несамоспряжених операторів у вигляді множення на незалежну змінну. Введено поняття сингулярного метричного вузла та його характеристичної функції. На основі цього вузла побудована унітарна дилатація еволюційного оператора, що відповідає диференціальному рівнянню зі змінним дисипативним оператором, а також вивчені відповідні хвильові оператори та оператор розсіяння.

У дисертації вивчаються лінійні обмежені оператори, що близькі до нормальних, за допомогою розкладань на дійсну та уявну частини, а також на модуль та часткову ізометрію. Перше розкладання також дозволяє вивчати гіпонормальні оператори, друге – семігіпонормальні оператори. У роботі розглянуто належні класи операторів із довільними відхиленнями від нормальності (детальніше з ядерними відхиленнями від нормальності).

Обидва виділені класи операторів вивчаються за однією схемою. Для них введені відповідні метричні вузли та їх визначальні функції, досліджені їх властивості. Одержано зображення операторів у вигляді інтегральних операторів у відповідних прямих інтегралах гільбертових просторів. Побудовано сингулярні інтегральні моделі, доведено існування символів для них, одержано належні задачі Рімана-Гільберта, а також введені характеристичні функції, мозаїки та принципальні функції Пінкуса. Вивчений зв’язок принципальних функцій з символами та загальними символами, одержані нові властивості слідів та носіїв цих функцій. Установлено зв’язок принципальних функцій з індексом оператора . Знайдено циклічні підпростори деяких класів операторів. Через перетворення Келі одержано зв’язок полярного розкладання оператора з розкладанням оператора на дійсну та уявну частини.

За допомогою розробленої теорії, а також теорії розвинень за узагальненими власними векторами, проведена явна діагоналізація самоспряженого абсолютно неперервного сингулярного інтегрального оператора, та побудовано функціональні моделі деяких класів несамоспряжених операторів у вигляді множення на незалежну змінну. Крім цього, введено поняття сингулярного метричного вузла та його характеристичної функції. На основі цього вузла побудована унітарна дилатація еволюційного оператора, що відповідає диференціальному рівнянню зі змінним дисипативним оператором, а також введені та вивчені відповідні хвильові оператори і оператор розсіяння.

Результати дисертації можуть бути використані для подальшого дослідження спектральної теорії операторів, що близькі до нормальних, та побудови відповідних функціональних моделей, а також мають самостійний інтерес у різних галузях алгебри та аналізу.