Анотація до роботи:

Пирч Н.М. Еквівалентність за Марковим просторів і відображень. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандитата фізико –математичних наук за спеціальністю 01.01.06 – алгебра і теорія чисел – Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів 2006.

Дисертація присвячена вивченню ізоморфізмів вільних топологічних та паратопологічних груп. Як було встановлено М.І. Граєвим, два негомеоморфні простори можуть мати топологічно ізоморфні вільні топологічні групи. У 80-их роках представниками школи проф. О.В. Архангельського було зроблено значний поступ у вивченні поняття М-еквівалентності. Розвиваючи метод “паралельних ретрактів” О.Г.Окунєва, ми пропонуємо метод “ортогональних ретрактів” для побудови М-еквівалентних просторів .

У дисертації автором проведено дослідження поняття М-еквівалентності відображень. Зокрема, запропоновано нові методи побудови таких відображень, встановлено перелік властивостей відображень, що не зберігаються відношенням М-еквівалентності. У абелевому випадку подано класифікацію відображень, що мають праві обернені. Введено поняття М-еквівалентності пар топологічних просторів, подано опис М-еквівалентності пар в термінах М-еквівалентності відображень.

У дисертації проведено дослідження тополого-алгебраїчних властивостей вільних (абелевих) паратопологічних груп і вказано на можливість чи неможливість перенесення раніше встановлених результатів, що стосуються поняття М-еквівалентності, на випадок вільних паратопологічних груп. Подано перелік функторів-рефлексій, що зберігають ізоморфізми вільних (абелевих) паратопологічних груп та вільних однорідних просторів.

Результати дисертації мають теоретичний характер і можуть бути використані у топологічній алгебрі, загальній топології і функціональному аналізі.

У дисертації автором отримані такі результати:

– встановлено конструкції і функтори, що зберігають відношення М-еквівалентності тихоновських просторів

– введено поняття ортогональних ретрактів, встановлено критерій, коли дві підмножини тихоновського простору є ортогональними ретрактами і доведено, що R-факторні простори тихоновського простору за його еквівалентними ортогональними ретрактами будуть знову еквівалентними просторами,

– встановлено, що дві ретракції, задані на тихоновському просторі на один і той самий ретракт, є М-еквівалентними відображеннями, подано класифікацію А-еквівалентних відображень, що мають праві обернені з точністю до А-еквівалентних просторів,

– для дослідження відносних топологічних властивостей вільних топологічних груп введено поняття М-еквівалентності пар топологічних просторів, встановлено ті топопологічні властивості, які зберігаються, і ті, які не зберігаються відношенням М-еквівалентності пар,

– досліджено тополого-алгебраїчні властивості вільних (абелевих) паратопологічних груп, зокрема, встановлено аксіоми відокремлення, які зберігаються при переході від топологічного простору до його вільної (абелевої) паратопологічної групи.

Публікації автора:

1. Pyrch N.M., Zarichnyi M.M., On a generalization of Okunev’s construction // Алгебраїчні структури та їх застосування. – Київ: Інститут математики НАН України, 2002. – С.346-350.

2. Pyrch N. M., Orthogonal retractions and M-equivalence // Математичні Студії, –2003. – Т.20, №2. – С.151-161.

3. Пирч Н. М. М-еквівалентність пар // Науковий збірник “Прикладні проблеми математики і механіки”, випуск 2, Львів, 2004, – С.74-79.

4. Pyrch N.M., M-equivalence of mappings // Математичні Студії, – 2005, – Т. 24, №1. – С.21-30.

5. Пирч Н.М. М-еквівалентність пар і відображень // Математичні методи та фізико-механічні поля, – 2006. – Т. 49, №2. – С. 21-26.

6. Pyrch N. M., Ravsky O.V., On free paratopological groups // Математичні Студії, – 2006. – Т.25, №2. – P.115-125.

7. Pyrch N.M, On isomorphisms of free topological groups // Тези доповідей четвертої міжнародної алгебраїчної Конференції в Україні, 4-9 серпня 2003 р. – Львiв, 2003. – P.189-190.

8. Пирч Н. М. М-еквівалентність відображень // Тези доповідей конференції молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я.С. Підстригача, Львів, 24-26 травня 2004р., – С.126-128.

9. Pyrch N.M., On orthogonal retractions // Proc. International conference “Geometric Topology: Infinite-Dimensional Topology, Absolute Extensors, Applications”, Lviv, May 26-30, 2004, – P.57-59.

10. Pyrch N.M., and Ravsky O.V. Free paratopological groups: separation properties // Proc. International conference “Geometric Topology: Infinite-Dimensional Topology, Absolute Extensors, Applications”, Lviv, May 26-30, 2004, – P.60-61.

11. Banakh T., Pyrch N. Free paratopological groups: isomorphic classification // Тези доповідей міжнародної конференції присвяченої до 125-ої річниці від дня народження Ганса Гана, Чернівці , 27 червня – 3 липня, 2004, – С.122-123.

12. Pyrch N. On A-equivalence of mappings having right inverse // Тези доповідей міжнародної конференції присвяченої до 125-ої річниці від дня народження Ганса Гана, Чернівці , 27 червня – 3 липня, 2004, – С.156-157.

13. Pyrch N., A method for constructing examples of M-equivalent mappings // Друга лiтня школа з алгебри i топологiї, Долина, 2-14 серпня, 2004, – С.32-33.

14. Пирч Н. М. М-еквівалентність пар // Тези доповідей конференції молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я.С. Підстригача, Львів, 24-27 травня 2005р., – С.238-239.

15. Pyrch N. Isomorphisms of free abelian toplogical groups of G-symmetric products and smash products // Тези доповідей п’ятої міжнародної алгебраїчної конференції в Україні, 20-27 липпня 2005 р. – Одеса, 2005. – С. 166-167.

16. Pyrch N. M. M-equivalence of Cylinders, Cones and Joins // Третя лiтня школа з алгебри, аналiзу i топологiї, Львiв-Козьова, 9-20 серпня, 2005, – С.146-147.

17. Pyrch N.M. On isomorphisms of free paratopological groups and free homogeneous spaces // Тези доповідей міжнародної конференції , “Математичний аналіз і суміжні питання”, Львів, 17-20 листопада, 2005, – С.87.

18. Pyrch N.M. The continuity of the inverse in free paratopological groups // Четверта літня школа з алгебри, топології, функціонального і стохастичного аналізу, м. Козьова, 17-29 липня, 2006 – С. 165-166.