Анотація до роботи:

Безуглий С.І. Динамічні системи на вимірних, борелівських і канторівських просторах. --- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 -- математичний аналіз. --- Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України, Харків, 2007.

В дисертації побудована теорія слабкої еквівалентності гіперфінітних груп автоморфізмів простору з мірою і знайдена повна система інваріантів для слабкої еквівалентності. Вивчена структура коциклів, що приймають значення в абелевих або лічильних групах. Повністю вирішена проблема зовнішнього спряження для дій лічильних аменабельних груп. Вирішена задача продовження та класифікації ергодичних дій локально компактних абелевих груп на групові розширення, які отримані за допомогою аменабельних груп. На групі усіх борелівських автоморфізмів стандартного борелівського простору впроваджені та вивчені топології і досліджені топологічні властивості цієї групи, її підгруп та окремих класів автоморфізмів. Побудована теорія діаграм Бореля-Браттелі для аперіодичних борелівських автоморфізмів. Вивчені топологічні властивості групи усіх гомеоморфізмів канторівської множини. Знайдені замикання повних груп, породжених мінімальними гомеоморфізмами, і замикання деяких класів гомеоморфізмів канторівського простору.

В дисертації побудовано теорію слабкої еквівалентності гіперфінітних груп автоморфізмів простору з мірою та знайдена структура коциклів таких груп. Ці результати дозволили повністю вирішити проблему зовнішнього спряження для дій лічильних аменабельних груп. Інше застосування розроблених методів полягає в вивченні проблеми розширення ергодичних дій локально компактних абелевих груп на групові розширення, які отримані за допомогою аменабельних груп. Виявляється, що типова дія локально компактної абелевої групи не розширюється до дії групового розширення, яке побудовано за допомогою лічильної аменабельної групи. Отримані умови, при яких невільна дія аменабельної групи є індукованою з підгрупи. Застосувана концепція діаграм Браттелі-Вєршика в борелівській динаміці та знайдена реалізація будь-якого борелівського автоморфізму у вигляді перетворення Вершика, яке діє на просторі нескінченних шляхів діаграми Браттелі. Вперше запровадженні топологічні методи для вивчення групи усіх борелівських автоморфізмів стандартного борелівського простору та побудована теорія апроксимації борелівських автоморфізмів, які належать різним класам. Вивчена структура гомеоморфізмів з повних груп мінімального гомеоморфізму канторівської множини та знайдена вичерпна класифікація насичених мінімальних канторівських систем. Повністю описані гомеоморфізми, які належать замиканням множин мінімальних та топологічно транзитивних гомеоморфізмів відносно різних топологій. Отримані явні формули для обчислювання динамічної ентропії для дій вільної абелевої групи та групи раціональних чисел на алгебрі антикомутаційних співвідношень.

-- 29 --

Список опублікованих праць

[1] Безуглый С.И. Топологии на полных группах автоморфизмов пространства с мерой // В кн.: Теория и применение диффер. уравнений и алгебра. -- Киев.: Наукова Думка, 1978. C. 3-6.

[2] Безуглый С.И., Голодец В.Я. Некоторые свойства полных групп автоморфизмов пространства с мерой // В кн.: Исследования по теории операторов и их приложениях. -- Киев.: Наукова Думка, 1979. C. 23-25.

[3] Безуглый С.И., Голодец В.Я. Группы преобразований пространства с мерой и инварианты внешней сопряженности для автоморфизмов из нормализатора полных групп типа // Докл. АН СССР. -- 1980. -- T. 254. -- C. 11-14.

[4] Безуглый С.И., Голодец В.Я. Неаменабельние группы и их действия на пространстве с мерой // В кн: Теория операторов на функциональных пространствах и их приложения. -- Киев.: Наукова Думка, 1981. C. 10-21.

[5] Безуглый С.И. Outer conjugacy of countable amenable group actions on a measure space // VI International Symposium on Information Theory, Tashkent, 1984.

[6] Безуглый С.И. Условия гиперфинитности групп автоморфизмов // Укр. Матем. журнал. -- 1984. -- T. 36. -- C. 759-761.

[7] Bezuglyi S., Golodets V. Groups of measure space transformations and invariants of outer conjugation for automorphisms of type full groups // J. Funct. Anal. -- 1985. -- V. 60. -- P. 341-369.

[8] Безуглый С.И., Голодец В.Я. Внешняя сопряженность действий счетных аменабельных групп на пространствах с мерой // Известия АН СССР, сер. матем. -- 1986. -- T. 50. -- C. 641-660.

-- 30 --

[9] Безуглый С.И. Полная система инвариантов для внешнего сопряжения действий счетных аменабельных групп // В кн.: Матем. физика и функциональный анализ. -- Киев.: Наукова Думка, 1986. C. 59-63.

[10] Безуглый С.И. Внешняя сопряженность автоморфизмов из нормализатора потока // В кн.: Операторы в функциональных пространствах и проблемы теории функций. -- Киев.: Наукова Думка, 1987. C. 66-73.

[11] Безуглый С.И., Голодец В.Я., Даниленко А.И. O расширении 1-коциклов динамических систем на элементы нормализатора // Доклады АН УССР, Сер. A -- 1988. -- T. 2. -- C. 3-5.

[12] Bezuglyi S., Golodets V. Type III transformations of measure space and outer conjugacy of countable amenable groups of automorphisms // J. Operator Theory -- 1989. -- T. 21. -- P. 3-40.

[13] Bezuglyi S. A representation of nonsingular automorphisms of a measure space as a product of periodic transformations // Preprint. -- Leipzig University. -- 1990.

[14] Bezuglyi S., Golodets V. Weak equivalence and the structures of cocycles of an ergodic automorphism // Publ.RIMS, Kyoto Univ. -- 1991. -- V. 27 -- P. 577-625.

[15] Безуглый С.И. T-множество для коциклов // В кн.: Динамические системы и комплексный анализ. -- Киев.: Наукова Думка, 1992. C. 169-173.

[16] Bezuglyi S. Outer conjugacy of the fields of groups of automorphisms, Connes-Krieger theorem for the actions of groupoids and induced actions // In: Operator Algebras and Operator Theory, Pitman Research Notes in Math. Series, 271. -- 1992. P. 37-45.

[17] Bezuglyi S., Danilenko A., Golodets V. On cocycles of ergodic dynamical systems and automorphisms compatible with them // Adv. Soviet Math. -- 1994. -- V. 19. -- P. 73-96.

[18] Bezuglyi S. H-cocycles and actions of group extensions // International Congress of Mathematicians. -- Zurich, 1994. -- P. 144.

[19] Bezuglyi S. Ergodic actions of group extensions and cocycles // In: Ergodic Theory and Dyn. Syst., Conference Proceedings. -- Warsaw, 1995.

-- 31 --

[20] Bezuglyi S. On recurrence and superrecurrence of H-cocycles // Math. Physics, Analysis, Geometry. -- 1996. -- V. 3. -- P. 3-17.

[21] Bezuglyi S., Golodets V. Dynamical entropy of group actions on the CAR-algebra // In: Proceedings of the Conference on Methods in Mathematical Physics. -- Hadronic Press. 1997. P. 53-77.

[22] Bezuglyi S., Golodets V. Dynamical entropy of Bogoliubov actions of free abelian group on the CAR-algebra // Erg. Theory Dyn. Syst. -- 1997. -- V. 17. -- P. 757-782.

[23] Bezuglyi S. Full groups of minimal homeomorphisms of Cantor sets // International Congress of Mathematicians. -- Berlin, 1998. -- P. 171.

[24] Bezuglyi S. H-cocycles and ergodic actions of group extensions // Доповіді НАН України. -- 1999. -- № 9. -- С. 21-26.

[25] Bezuglyi S. Groups of automorphisms of a measure space and weak equivalence of cocycles // In: Descriptive set theory and dynamical systems, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 277. -- Cambridge University Press, 2000. P. 59-86.

[26] Bezuglyi S., Kwiatkowski J. The topological full group of a Cantor minimal system is dense in the full group // Topological Methods in Nonlinear Analysis. -- 2000. -- V. 16. -- P. 371-397.

[27] Bezuglyi S., Kwiatkowski J. Topologies on full groups and normalizers of Cantor minimal systems // Math. Physics , Analysis, and Geometry. -- 2002. -- V. 9, No.3. -- P. 1-10.

[28] Bezuglyi S., Dajani K., Dooley A.H., Hamachi T. Isomorphic actions of group extensions on a measure space // Indag. Mathem., N.S. -- 2004. -- V. 15. -- P. 167-188.

[29] Bezuglyi S., Medynets K. Smooth automorphisms and path-connectedness in Borel dynamics // Indag. Mathem., N.S. -- 2004. -- V. 15. -- P. 453-468.

[30] Bezuglyi S., Dooley A.H., Medynets K. The Rokhlin lemma for homeomorphisms of a Cantor set // Proceedings of AMS. -- 2005. -- V. 134. -- P. 2957-2964.

[31] Bezuglyi S., Kwiatkowski J., Medynets K. Approximation in ergodic theory, Borel, and Cantor dynamics // Contemporary Math. -- 2005. -- V. 385. -- P. 39-64.

-- 32 --

[32] Bezuglyi S., Dooley A.H., Kwiatkowski J. Topologies on the group of Borel automorphisms of a standard Borel space // Topol. Methods in Nonlinear Analysis. -- 2006. -- V. 27. -- P. 333-385.

[33] Bezuglyi S., Dooley A.H., Kwiatkowski J. Topologies on the group of homeomorphisms of a Cantor set // Topol. Methods in Nonlinear Analysis. -- 2006. -- V. 27. -- P. 299-331.