Анотація до роботи:

Тертичний М.В. Дослідження потенціалів взаємодії надстійких та сильно надстійких статистичних систем. — Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук зі спеціальності 01.01.03 — математична фізика. — Інcтитут математики НАН України, Київ, 2009.

Встановлено тісний зв’язок між дослідженням достатніх критеріїв стійкості взаємодії нескінченних систем і класичною теорією мінімізуючих мір в теорії потенціалу. Зроблено огляд основних результатів в сучасній теорії потенціалу.

Отримано нові достатні критерії стійкості, надстійкості та посиленої надстійкості для взаємодії, що визначається двочастинковим потенціалом. Встановлено точні значення констант та їх залежності від параметрів, що характеризують потенціал взаємодії.

Отримано достатній критерій стійкості, надстійкості та посиленої надстійкості у випадку багаточастинкової взаємодії. Проаналізовано приклад сім’ї багаточастинкових потенціалів, яка визначає надстійку взаємодію і який має безпосереднє застосування в молекулярній фізиці.

Введено принципово нове поняття квазігратчастої апроксимації неперервних систем для тиску, кореляційних функцій в обмеженому об’ємі та кореляційних функцій нескінченних систем. Доведено, що, за умови посиленої надстійкості взаємодії, ці нові введені функції з будь-яким ступенем точності наближають класичні тиск, кореляційні функції в обмеженому об’ємі та кореляційні функції нескінченних систем (останній результат — лише для достатньо малих значень хімічної активності z).

Основні результати дисертації можна підсумувати таким чином.

1. Зроблено огляд основних понять рівноважної статистичної механіки, пов’язаних з побудовою міри Гіббса в обмеженому об’ємі та на просторі нескінченних конфігурацій. Проаналізовано умови існування принаймні одного стану Гіббса та зв’язок цього факту з поняттям стійкої, надстійкої та посилено надстійкої взаємодії. Зроблено стислий огляд відомих достатніх критеріїв стійкості та надстійкості для взаємодії, що визначається лише двочастинковим потенціалом. Встановлено тісний зв’язок між дослідженням достатніх критеріїв стійкості взаємодії нескінченних систем і класичною теорією мінімізуючих мір в теорії потенціалу.

2. Отримано нові достатні критерії стійкості, надстійкості та посиленої надстійкості для взаємодії, що визначається двочастинковим потенціалом. Перевагою отриманих критеріїв у порівнянні з результатами попередників (Добрушина, Рюеля) є встановлення точних значень констант та їх залежності від параметрів, що характеризують потенціал взаємодії.

3. Отримано достатній критерій стійкості, надстійкості та посиленої надстійкості для взаємодії, що визначається сім’єю багаточастинкових потенціалів. Введено ряд допоміжних понять для формулювання цього результатату, які можуть бути застосовані і для доведення інших теорем, пов’язаних з багаточастинковою взаємодією. Проаналізовано приклад сім’ї багаточастинкових потенціалів, що визначає надстійку взаємодію і є певним узагальненням потенціалу Ленарда–Джонса для двочастинкової взаємодії, який досить часто застосовується у молекулярній фізиці.

4. Введено принципово нове поняття квазігратчастої апроксимації неперервних систем для тиску і кореляційних функцій в обмеженому об’ємі та на просторі нескінченних конфігурацій. Розглянуто рівняння типу Кірквуда–Зальцбурга для кореляційних функцій апроксимованої системи по аналогії з аналогічними рівняннями для гратчастих систем. Доведено, що за умови посиленої надстійкості взаємодії апроксимовані тиск та кореляційні функції з будь-яким ступенем точності наближають відповідні класичні величини неперервних систем (результат стосовно кореляційних функцій на просторі нескінченних конфігурацій доведено лише для достатньо малих значень хімічної активності z).

Публікації автора:

1. Rebenko A. L. Quasi-continuous approximation of statistical systems with strong superstable interactions /A. L. Rebenko, M. V. Tertychnyi // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2007. — Т. 4, № 3. — C. 172—182.

2. Rebenko A. L. On stability, superstability and strong superstability of classical systems of Statistical Mechanics / A. L. Rebenko, M. V. Tertychnyi // Meth. Funct. Anal. and Topology. — 2008. — V. 14, № 3. — P. 287—296.

3. Tertychnyi M. V. Sufficient conditions for superstability of many-body interactions / M. V. Tertychnyi // Meth. Funct. Anal. and Topology. — 2008. — V. 14, № 4. — P. 386—396.

4. Rebenko A. L. Quasi-lattice approximation of statistical systems with strong superstable interactions. Correlation functions / A. L. Rebenko, M. V. Tertychnyi. — Київ: Інститут математики НАН України, 2009. — 36 c. — (Препринт / НАН України, Інститут математики; 2009.1).

5. Ребенко О. Л. Про умови надстійкості та посиленої надстійкості парних потенціалів взаємодії / О. Л. Ребенко, М. В. Тертичний // Міжнародна математична конференція імені В. Я. Скоробагатька, 24-28 вересня 2007 р.: Тези доповідей. — Дрогобич: Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, 2007. — С. 241.

6. Tertychnyi M. V. Quasilattice approximation of statistical systems with superstable or strong superstable pair interactions / M. V. Tertychnyi // 1-а Всеураїнська конференція молодих вчених, 20-23 травня 2008 р.: Тези доповідей. — Харків: Фізико-технічний інститут низьких температур імені Б. І. Вєркіна НАН України, 2008. — С. 165.