Анотація до роботи:

Іващук О.В. Багатомісна асоціативність і пов’язані з нею групоїди. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 - алгебра і теорія чисел. Інститут математики НАН України, Київ, 2006.

Дисертація присвячена дослідженню (i,j)-асоціативних групоїдів з кратно r оборотними елементами (майже поліагруп). Узагальнено різні підходи до вивчення аксіоматик бінарних та багатомісних груп і встановлено аксіоматику майже поліагруп. Наведено три види аксіоматик: на мові оборотних елементів, на мові нейтральних операцій, на мові нейтральних, симетричних та дзеркальних операцій, з яких слідують вже відомі і нові аксіоматики (n+1)-арних груп. Доведено низку критеріїв оборотності елемента в асоціатах.

Вивчено властивості схрещеної ізотопії і схрещеного ізоморфізму поліагруп. А саме, доведено, що: групоїд, який є i-схрещено ізотопним до i-оборотного групоїда, є i-оборотним; якщо 0, то асоціат, який є i-схрещено ізотопним до квазігрупи, є поліагрупою; множина квазігрупових операцій арності не менше трьох не замкнена відносно взяття сильного схрещеного ізоморфного образу. Знайдено будову відрізкових схрещених ізотопій (автотопій) поліагруп та схрещених ізотопій (автотопій) медіальних поліагруп, а також структуру сильного схрещеного ізоморфізму медіальних поліагруп. З’ясовано умови, за яких схрещений ізоморфізм співпадає з ізоморфізмом. Встановлено умови, при яких схрещений ізотоп квазігрупи є квазігрупою, схрещений ізоморф поліагрупи є комутативним і є медіальним.

Дисертаційна робота носить теоретичний характер і присвячена вивченню багатомісної асоціативності, тобто асоціатівності багатомісних групоїдів, та описанню зв’язків з іншими групоїдами. А саме, встановлено низку критеріїв оборотності елемента в асоціаті; знайдено аксіоматики класу майже поліагруп, яка є узагальненням різних підходів до вивчення аксіоматик багатомісних груп; вивчено властивості схрещеної ізотопії і схрещеного ізоморфізму поліагруп; встановлено зв’язок між схрещеним ізоморфізмом та ізоморфізмом для поліагруп; описано схрещені ізоморфізми різних видів не максимального типу і схрещені ізотопії (схрещені автотопії) не максимального типу поліагруп; описано схрещені ізоморфізми не максимального типу між поліагрупами і комутативними та медіальними групоїдами.

Здобуті в дисертації результати можуть бути застосованими в алгебрі при вивченні перетворень множин, а також для подальших досліджень властивостей бінарних і багатомісних квазігруп та груп; в багатозначній логіці при вивченні розкладів багатомісних функцій за допомогою суперпозицій; в дискретній математиці при вивченні гіперкубів тощо.

Усі результати дисертації є строго логічно обґрунтованими та якісно відрізняються від одержаних попередниками.

Публікації автора:

[1] Sokhatsky F.M., Yurevych O. Invertible elements in associates and semigroups. 2// Quasigroups and Related Systems. – 1999. – Vol.6. – P. 61 – 70.

[2] Юревич О. В. Критерії оборотності елементів в асоціатах// Укр. мат. журн. – 2001. – T.53, N 11. – C. 1556 – 1563.

[3] Юревич О.В. Про аксіоматики майже поліагруп// Науковий часопис НПУ iменi М.П. Драгоманова. Сер. фiзико-математичнi науки. – 2004. – N 5. – С. 128 – 141.

[4] Юревич О.В. Про схрещену ізотопію поліагруп// Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины.-2005.-Вып.11.- С. 34-49.

[5] Sokhatsky F.M., Yurevych O.V. On Commutativity and Mediality of Polyagroup Cross Isomorphs// Buletinul Academiei de Stiinte a Republicii Moldova. Matematica. – 2005. – Vol.3(49).- P. 141-152.

[6] Сохацький Ф.М., Юревич О.В. До означення поліагрупи// Тези допов. звітної наук. конф. виклад. та студ. Вінницького педін. за 1994 рік (травень 1995).-Вінниця: Вінницький держ. пед. ін-т ім. М.Коцюбинського, 1995.-С. 19.

[7] Сохацький Ф.М., Юревич О.В. До оборотності елемента в асоціаті// Тези доповідей звітної наукової конференції викладачів та студентів за 1995 рік.-Вінниця, 1996.- С. 30.

[8] Yurevych O. About Invertible Elements in Associates// Друга міжнародна алгебр. конфер. в Україні, присв. пам'яті Л.А.Калужніна (1914-1990). - Київ-Вінниця, 9-16 травня 1999.-С.50.

[9] Yurevych O. Usan's axiomatics for polyagroups// Second Conference of the Mathematical Society of the Republic of Moldova.- Chisinau, August, 17-19, 2004.-P. 325.

[10] Yurevych O. On crossed isotopy// Fifth International Algebraic Conference in Ukraine.-Odesa. - 2005.-P. 236-237.

[11] Sokhatsky F., Yurevych O. On crossed isomorphism// Fifth International Algebraic Conference in Ukraine.-Odesa.- 2005.-P. 200.