Анотація до роботи:

Тракало О.М. Асимптотичні властивості інтегралів типу Лапласа і рядів Діріхле. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 – математичний аналіз. – Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2003.

У дисертаційній роботі отримано точні оцінки виняткових множин у співвідношенні Бореля для цілих кратних рядів Діріхле і цілих функцій, зображуваних кратними степеневими рядами. За умов лише на міру отримано оцінки зверху інтегралів типу Лапласа через максимум підінтегральної функції. Знайдено необхідні і достатні умови того, щоб центральний індекс степеневого ряду був повільно зростаючою функцією.

У даній дисертаційній роботі:

знайдене непокращуване описання виняткової множини у співвідношенні Бореля для цілих функцій, зображуваних кратними степеневими рядами;

доведено, що скінченність Лебегової міри є непокращуваним описанням виняткової множини у співвідношенні Бореля в класі всіх цілих рядів Діріхле;

знайдено непокращуване описання виняткової множини у співвідношенні Бореля в класі всіх цілих подвійних рядів Діріхле та доведено критерій справедливості співвідношення Бореля із знайденою оцінкою виняткової множини в класі всіх цілих подвійних рядів Діріхле.

Основним методом доведення, що неодноразово використовується у дисертації є підхід до дослідження асимптотичних властивостей додатних інтегралів, запропонований О.Б. Скасківим, і в основі якого лежить ідея П. Розенблума про використання імовірнісних нерівностей Чебишова і Маркова. За допомогою цього методу, у роботі:

за обмежень лише на міру знайдено оцінки зверху (що є узагальненням співвідношення Бореля для степеневих рядів) інтегралів типу Лапласа через максимум підінтегральної функції, справедливі зовні виняткових множин;

за обмежень на міру знайдено оцінки зверху через максимум підінтегральної функції інтегралів типу Лапласа у підкласах таких інтегралів, що визначаються обмеженням на зростання зверху;

на прикладі узагальненого співвідношення Бореля, яке розглядається в класі всіх цілих кратних рядів Діріхле показано, як з отриманих для додатних інтегралів тверджень отримати різноманітні наслідки для цілих кратних рядів Діріхле;

для додатних інтегралів типу Лапласа за мірою, яка є прямим добутком мір отримано оцінки, з яких отримано аналоги класичної нерівності Вімана для цілих кратних рядів Діріхле та оцінку виняткової множини у нерівності типу Вімана для подвійних степеневих рядів таку, як у А. Шуміцкі (1965 р.) з уточненням нерівності типу Вімана, подібним, як у П. Фентона (1995 р.).

В ідейному плані з цих результатів випливає, що ефективні асимптотичні оцінки інтегралів досить загального вигляду з підінтегральною функцією взагалі кажучи довільного вигляду можна отримувати за обмежень, що накладаються лише на міру, за якою побудовано інтеграл. Це спостереження може виявитись корисним у подальших дослідженнях асимптотичних властивостей інтегралів залежних від параметрів.

У роботі також висвітлено необхідні і достатні умови справедливості узагальнень співвідношення Бореля у підкласі цілих кратних рядів Діріхле, що визначається обмеженням на зростання зверху і який є аналогом класу цілих рядів Діріхле скінченного порядку за Ріттом.

Крім цього, в роботі знайдено необхідні та достатні умови повільного зростання центрального індексу степеневого ряду, тобто отримано розв’язок проблеми, сформульованої М.В. Заболоцьким і М.М. Шереметою.

Публікації автора:

1. Скасків О.Б., Тракало О.М. Нерівності типу Вімана для додатних інтегралів // Сучасні пробл.матем: Матер.міжнар.конф., ч.3. – Київ: Ін-т матем. – 1998. – С.95-97.

2. Орищин О.Г., Скасків О.Б., Тракало О.М. Зауваження про нерівності типу Вімана для кратних рядів Діріхле // Вісн.ДУ „Львівська політехніка”. – 1999. – N 364. – С.127-131.

3. Скасків О.Б., Тракало О.М. Про класичну нерівність Вімана для цілих кратних рядів Діріхле// Мат. методи і фіз.-мех. поля. – 2000. – Т. 44, N 3. – С. 34-39.

4. Скасків О.Б., Тракало О.М. Про повільне зростання лічильної функції додатної послідовності// Вісн.Львів.ун-ту. Сер.мех.-мат. – 2000. – Вип.58. – С. 36-40.

5. Скасків О.Б., Тракало О.М. Про виняткову множину у співвідношенні Бореля для цілих подвійних рядів Діріхле// Мат.студії. – 2001. – Т. 15, N 2. – С. 163-172.

6. Тракало О.М. Про співвідношення типу Бореля для кратних рядів Діріхле// Вісн. Львів.ун-ту. Сер.мех.-мат. – 2001. – Вип. 59. – С. 66-73.

7. Salo T.M., Skaskiv O.B., Trakalo O.M. On the best possible description of exceptional set in Wiman-Valiron theory for entire functions// Мат.студії. – 2001. – Т. 16, N 2. – С. 131-140.

8. Скасків О.Б., Тракало О.М. Точна оцінка виняткової множини у співвідношенні Бореля для цілих функцій від декількох змінних// Мат.студії. – 2002. – Т. 18, N 1. – С. 53-56.

9. Скасків О.Б., Тракало О.М. Асимптотичні оцінки інтегралів типу Лапласа // Мат.студії. – 2002. – Т. 18, N 2. – С. 125-146.

10. Тракало О.М. Про повільну зміну центрального індексу степеневого ряду// Нові підходи до розв.диф.рівнянь (Міжн.наук.конф., м.Дрогобич, 1-5 жовтня 2001): Тези доп.- Київ, Ін-т мат.НАН України, 2001.-С.145.

11. Trakalo A.M. On the relations of Borel type for multiple Dirichlet series// International Conference on Complex Analysis and Potential Theory (Kyiv, 7-12 August 2001): Abstr. – Kyiv: Inst.of Math.National Acad.Sc.Ukraine, 2001. – P.57-58.